Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\) có \(a = 12, b = 16, c = 20\). Tính diện tích \(S\) tam giác, chiều cao \(h_a\), các bán kính \(R, r\) của các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác và đường trung tuyến \(m_a\) của tam giác.
Phương pháp giải
- Diện tích tam giác \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left({p - b} \right)\left({p - c} \right)} \)
- Chiều cao: \(S = \frac{1}{2}a{h_a} \Rightarrow {h_a} = \frac{{2S}}{a}\)
- Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác: \(S = \frac{{abc}}{{4R}} \Rightarrow R = \frac{{abc}}{{4S}}\)
- Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác: \(S = pr \Rightarrow r = \frac{S}{p}\)
- Trung tuyến: \(m_a^2 = \frac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}}}{4}\)
Lời giải chi tiết
* Tính diện tích: Sử dụng công thức Hê-rông với:
\(\eqalign{
& p = \frac{{a + b + c}}{2}= {{12 + 16 + 20} \over 2} = 24 \cr
& S = \sqrt {p\left({p - a} \right)\left({p - b} \right)\left({p - c} \right)} \cr &= \sqrt {24(24 - 12)(24 - 16)(24 - 20)} \cr&= \sqrt {24.12.8.4} = 96(dvdt) \cr} \)
* Tính \(h_a\): Ta có:
\(\eqalign{
& S = {1 \over 2}a{h_a} \Leftrightarrow 96 = {1 \over 2}. 12.{h_a} \cr& \Leftrightarrow 96 = 6.{h_a} \cr
& \Leftrightarrow {h_a} = {{96} \over 6} = 16 \cr} \)
* Tính \(R\)
Ta có: \(S = {{abc} \over {4R}} \Leftrightarrow R = {{abc} \over {4S}} = {{12.16.20} \over {4.96}} = 10\)
* Tính \(r\)
Ta có: \(S = p. R \Leftrightarrow r = {S \over p} = {{96} \over {24}} = 4\)
* Tính \(m_a\). Ta có:
\(\eqalign{
& {m_a}^2 = {{2({b^2} + {c^2}) - {a^2}} \over 4} \cr&= {{2({{16}^2} + {{20}^2}) - {{12}^2}} \over 4} = 292 \cr
& \Leftrightarrow {m_a} = \sqrt {292} \approx 17,09 \cr} \)
Cách khác:
Nhận xét: Tam giác ABC có a2 + b2 = c2 nên vuông tại C.
+ Diện tích tam giác: S = 1/2. A. B = 1/2.12.16 = 96 (đvdt)
+ Chiều cao ha: ha = AC = b = 16.
+ Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của AB.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp R = AB /2 = c/2 = 10.
+ Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác: S = p. R ⇒ r = S/p.
Mà S = 96, p = (a + b + c) / 2 = 24 ⇒ r = 4.
+ Đường trung tuyến ma:
ma2 = (2.(b2 + c2) – a2) / 4 = 292 ⇒ ma = √292.
- Diện tích tam giác \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left({p - b} \right)\left({p - c} \right)} \)
- Chiều cao: \(S = \frac{1}{2}a{h_a} \Rightarrow {h_a} = \frac{{2S}}{a}\)
- Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác: \(S = \frac{{abc}}{{4R}} \Rightarrow R = \frac{{abc}}{{4S}}\)
- Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác: \(S = pr \Rightarrow r = \frac{S}{p}\)
- Trung tuyến: \(m_a^2 = \frac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}}}{4}\)
Lời giải chi tiết
* Tính diện tích: Sử dụng công thức Hê-rông với:
\(\eqalign{
& p = \frac{{a + b + c}}{2}= {{12 + 16 + 20} \over 2} = 24 \cr
& S = \sqrt {p\left({p - a} \right)\left({p - b} \right)\left({p - c} \right)} \cr &= \sqrt {24(24 - 12)(24 - 16)(24 - 20)} \cr&= \sqrt {24.12.8.4} = 96(dvdt) \cr} \)
* Tính \(h_a\): Ta có:
\(\eqalign{
& S = {1 \over 2}a{h_a} \Leftrightarrow 96 = {1 \over 2}. 12.{h_a} \cr& \Leftrightarrow 96 = 6.{h_a} \cr
& \Leftrightarrow {h_a} = {{96} \over 6} = 16 \cr} \)
* Tính \(R\)
Ta có: \(S = {{abc} \over {4R}} \Leftrightarrow R = {{abc} \over {4S}} = {{12.16.20} \over {4.96}} = 10\)
* Tính \(r\)
Ta có: \(S = p. R \Leftrightarrow r = {S \over p} = {{96} \over {24}} = 4\)
* Tính \(m_a\). Ta có:
\(\eqalign{
& {m_a}^2 = {{2({b^2} + {c^2}) - {a^2}} \over 4} \cr&= {{2({{16}^2} + {{20}^2}) - {{12}^2}} \over 4} = 292 \cr
& \Leftrightarrow {m_a} = \sqrt {292} \approx 17,09 \cr} \)
Cách khác:
Nhận xét: Tam giác ABC có a2 + b2 = c2 nên vuông tại C.
+ Diện tích tam giác: S = 1/2. A. B = 1/2.12.16 = 96 (đvdt)
+ Chiều cao ha: ha = AC = b = 16.
+ Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của AB.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp R = AB /2 = c/2 = 10.
+ Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác: S = p. R ⇒ r = S/p.
Mà S = 96, p = (a + b + c) / 2 = 24 ⇒ r = 4.
+ Đường trung tuyến ma:
ma2 = (2.(b2 + c2) – a2) / 4 = 292 ⇒ ma = √292.