Google
Câu hỏi: Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(a\). Trong các khẳng định sau, tìm khẳng định sai:
A. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \dfrac{1}{2}{a^2}\)
B. \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} = - \dfrac{1}{2}{a^2}\)
C. \(\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GB} = \dfrac{{{a^2}}}{6}\)
D. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AG} = \dfrac{1}{2}{a^2}\)
A. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \dfrac{1}{2}{a^2}\)
B. \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} = - \dfrac{1}{2}{a^2}\)
C. \(\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GB} = \dfrac{{{a^2}}}{6}\)
D. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AG} = \dfrac{1}{2}{a^2}\)
Phương pháp giải
Sử dụng công thức tính tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).
Lời giải chi tiết
Đáp án A: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} \) \(= \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\) \(= a. A.\cos {60^0} = \dfrac{1}{2}{a^2}\)
A đúng.
Đáp án B: \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} \)\(= \left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right)\) \(= a. A.\cos {120^0} = - \dfrac{1}{2}{a^2}\)
B đúng.
Đáp án C: Tam giác \(ABC\) đều nên chiều cao \(AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) và \(AG = \dfrac{2}{3}AH = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Do đó \(\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GB} \) \(= \left| {\overrightarrow {GA} } \right|.\left| {\overrightarrow {GB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {GA} ,\overrightarrow {GB} } \right)\) \(= \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\cos {120^0} = - \dfrac{{{a^2}}}{6}\)
C sai.
Sử dụng công thức tính tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).
Lời giải chi tiết
Đáp án A: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} \) \(= \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\) \(= a. A.\cos {60^0} = \dfrac{1}{2}{a^2}\)
A đúng.
Đáp án B: \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} \)\(= \left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right)\) \(= a. A.\cos {120^0} = - \dfrac{1}{2}{a^2}\)
B đúng.
Đáp án C: Tam giác \(ABC\) đều nên chiều cao \(AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) và \(AG = \dfrac{2}{3}AH = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Do đó \(\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GB} \) \(= \left| {\overrightarrow {GA} } \right|.\left| {\overrightarrow {GB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {GA} ,\overrightarrow {GB} } \right)\) \(= \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\cos {120^0} = - \dfrac{{{a^2}}}{6}\)
C sai.
Đáp án C.