Bài 5 trang 27 (Ôn tập chương I - Vectơ) SGK Hình học 10

Câu hỏi: Cho tam giác đều \(ABC\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Hãy xác định các điểm \(M, N, P\) sao cho:

Câu a​

\(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \)
Lời giải chi tiết:
Cách 1:
Kéo dài \(OC\) cắt đường tròn tại điểm \(M\).
MC là đường kính nên \(\widehat {MBC} = {90^0} \Rightarrow MB \bot BC\).
Mà tam giác ABC đều nên \(AO\bot BC\).
Do đó MB//OA (1)
Lại có \(\widehat {MAC} = {90^0} \Rightarrow MA \bot AC\).
Mà tam giác ABC đều nên \(BO\bot AC\).
Do đó MA//BO (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(OAMB\) là hình bình hành, suy ra:
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OM} \).
Vậy M là điểm cần tìm.
Cách 2:
O là tâm tam giác ABC nên cũng là trọng tâm tam giác.
Ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = - \overrightarrow {OC} \end{array}\)
Mà \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \)
Nên \(\overrightarrow {OM} = - \overrightarrow {OC} \)
\(\Rightarrow \overrightarrow {OM} \) là véc tơ đối của \(\overrightarrow {OC} \) hay O là trung điểm của CM.
Mà OC là bán kính nên CM=2CO là đường kính của đường tròn.
Vậy M là giao điểm của CO với đường tròn.
Cách 3:
\(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \) \(\Leftrightarrow \) M là đỉnh còn lại của hình bình hành AOBM.
+ AOBM là hình bình hành ⇒ AM = OB
Mà OB = OA (= bán kính đường tròn) ⇒ AM = AO ⇒ ΔAMO cân tại A (1)
+ AOBM là hình bình hành ⇒ AM//BO
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {MAO} + \widehat {AOB} = {180^0}\\ \Leftrightarrow \widehat {MAO} + {120^0} = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat {MAO} = {60^0} \left( 2 \right)\end{array}\)
Từ (1) và (2) ⇒ ΔAMO đều ⇒ OM = OA ⇒ M nằm trên đường tròn ngoại tiếp ΔABC.
Mà \(\widehat {AOM} = \widehat {BOM}\) nên M là điểm chính giữa cung AB.

Câu b​

\(\overrightarrow {ON} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \)
Lời giải chi tiết:
Nối \(OA\) và kéo dài cắt đường tròn tại điểm \(N\)
Tương tự như trên ta có:
\(\overrightarrow {ON} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \)
Cách khác:
\(\overrightarrow {ON} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \) \(\Leftrightarrow \) N là đỉnh còn lại của hình bình hành BOCN.
+ BOCN là hình bình hành ⇒ OB=CN
Mà OB = OC (= bán kính đường tròn) ⇒ CN = CO ⇒ ΔCNO cân tại C (1)
+ BOCN là hình bình hành ⇒ CN//BO
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {NCO} + \widehat {BOC} = {180^0}\\ \Leftrightarrow \widehat {NCO} + {120^0} = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat {NCO} = {60^0} \left( 2 \right)\end{array}\)
Từ (1) và (2) ⇒ ΔCNO đều ⇒ ON = OC ⇒ N nằm trên đường tròn ngoại tiếp ΔABC.
Mà \(\widehat {BON} = \widehat {CON}\) nên N là điểm chính giữa cung BC.

Câu c​

\(\overrightarrow {OP} = \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OA} \)
Lời giải chi tiết:
Nối \(OB\) và kéo dài cắt đường tròn tại điểm \(P\)
Tương tự như trên ta có:
\(\overrightarrow {OP} = \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OA} \)
Cách khác:
\(\overrightarrow {OP} = \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OA} \) \(\Leftrightarrow \) P là đỉnh còn lại của hình bình hành AOCP.
+ AOCP là hình bình hành ⇒ OA=PC
Mà OA = OC (= bán kính đường tròn) ⇒ OC = PC ⇒ ΔCPO cân tại C (1)
+ AOCP là hình bình hành ⇒ AO//CP
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {PCO} + \widehat {COA} = {180^0}\\ \Leftrightarrow \widehat {PCO} + {120^0} = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat {PCO} = {60^0} \left( 2 \right)\end{array}\)
Từ (1) và (2) ⇒ ΔCPO đều ⇒ OP = OC ⇒ P nằm trên đường tròn ngoại tiếp ΔABC.
Mà \(\widehat {AOP} = \widehat {COP}\) nên P là điểm chính giữa cung AC.