Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng \(|\overrightarrow a + \overrightarrow b | \le |\overrightarrow a | + |\overrightarrow {b|} .\)
Phương pháp giải
Dựng các véc tơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) chung gốc.
Sử dụng bất đẳng thức tam giác để chứng minh.
Lời giải chi tiết
Từ một điểm \(O\) trong mặt phẳng ta dựng vectơ:
\(\eqalign{
& \overrightarrow {OA} = \overrightarrow a \cr
& \overrightarrow {OB} = \overrightarrow b \cr} \)
Và dựng hình bình hành \(OACB\) \( \Rightarrow \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {OB} \)
Như vậy:
\(\eqalign{
& OA = |\overrightarrow {OA} | = |\overrightarrow a | \cr
& OB = |\overrightarrow {OB} | = |\overrightarrow b | \cr&\Rightarrow AC = |\overrightarrow {AC} |=|\overrightarrow {OB} | = |\overrightarrow b | \cr
& \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \Rightarrow \overrightarrow {OC} = \overrightarrow a + \overrightarrow b \cr
& OC = |\overrightarrow {OC} | = |\overrightarrow a + \overrightarrow b | \cr} \)
Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác \(OAC\), ta có:
\(OA + AC ≥ OC \) \(\Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| \ge \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|\)
\( ⇒ |\overrightarrow a + \overrightarrow b | \le |\overrightarrow a | + |\overrightarrow {b|} \).
Dấu "=" xảy ra khi OA+AC=OC hay A nằm giữa O và C.
Khi đó \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {AC} \) cùng hướng hay \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) cùng hướng. (Do \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow b \))
Chú ý:
Các em cũng không nhất thiết phải dựng hình bình hành. Có thể dựng hình cách khác như sau:
Từ điểm O dựng điểm A sao cho \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a \).
Từ điểm A dựng điểm C sao cho \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow b \).
Rồi sử dụng bất đẳng thức tam giác cũng ra được đpcm.
Dựng các véc tơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) chung gốc.
Sử dụng bất đẳng thức tam giác để chứng minh.
Lời giải chi tiết
Từ một điểm \(O\) trong mặt phẳng ta dựng vectơ:
\(\eqalign{
& \overrightarrow {OA} = \overrightarrow a \cr
& \overrightarrow {OB} = \overrightarrow b \cr} \)
Và dựng hình bình hành \(OACB\) \( \Rightarrow \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {OB} \)
Như vậy:
\(\eqalign{
& OA = |\overrightarrow {OA} | = |\overrightarrow a | \cr
& OB = |\overrightarrow {OB} | = |\overrightarrow b | \cr&\Rightarrow AC = |\overrightarrow {AC} |=|\overrightarrow {OB} | = |\overrightarrow b | \cr
& \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \Rightarrow \overrightarrow {OC} = \overrightarrow a + \overrightarrow b \cr
& OC = |\overrightarrow {OC} | = |\overrightarrow a + \overrightarrow b | \cr} \)
Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác \(OAC\), ta có:
\(OA + AC ≥ OC \) \(\Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| \ge \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|\)
\( ⇒ |\overrightarrow a + \overrightarrow b | \le |\overrightarrow a | + |\overrightarrow {b|} \).
Dấu "=" xảy ra khi OA+AC=OC hay A nằm giữa O và C.
Khi đó \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {AC} \) cùng hướng hay \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) cùng hướng. (Do \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow b \))
Chú ý:
Các em cũng không nhất thiết phải dựng hình bình hành. Có thể dựng hình cách khác như sau:
Từ điểm O dựng điểm A sao cho \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a \).
Từ điểm A dựng điểm C sao cho \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow b \).
Rồi sử dụng bất đẳng thức tam giác cũng ra được đpcm.