Bài 11 trang 28 SGK Hình học 10

Câu hỏi: Cho \(\overrightarrow a= (2; 1);\overrightarrow b =(3; - 4);\) \(\overrightarrow c =( - 7; 2)\)

Câu a​

Tìm tọa độ của vecto \(\overrightarrow u  = 3\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b  - 4\overrightarrow c \)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow a = \left({{x_1};{y_1}} \right),\overrightarrow b = \left({{x_2};{y_2}} \right)\\
\Rightarrow k\overrightarrow a \pm l\overrightarrow b = \left({k{x_1} \pm l{x_2}; k{y_1} \pm l{y_2}} \right)
\end{array}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\overrightarrow a= (2; 1);\overrightarrow b =(3; - 4);\) \(\overrightarrow c =( - 7; 2)\)
Do đó:
\(\overrightarrow u = 3\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b  - 4\overrightarrow c\)
\(= (3.2 + 2.3 - 4.( - 7); 3.1 + 2(- 4) - 4.2)\)
\(=(40;-13)\)
\(\Rightarrow \overrightarrow u = (40; - 13)\)
Chú ý:
Có thể trình bày cách khác như sau:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow a = \left({2; 1} \right)\\
\Rightarrow 3\overrightarrow a = \left({3.2; 3.1} \right) = \left({6; 3} \right)\\
\overrightarrow b = \left({3; - 4} \right)\\
\Rightarrow 2\overrightarrow b = \left({2.3; 2.\left( { - 4} \right)} \right) = \left({6; - 8} \right)\\
\overrightarrow c = \left({ - 7; 2} \right)\\
\Rightarrow 4\overrightarrow c = \left({4.\left( { - 7} \right); 4.2} \right) = \left({ - 28; 8} \right)\\
\Rightarrow \overrightarrow u = 3\overrightarrow a + 2\overrightarrow b - 4\overrightarrow c \\
= \left({6 + 6 - \left( { - 28} \right); 3 + \left({ - 8} \right) - 8} \right)\\
= \left({40; - 13} \right)
\end{array}\)

Câu b​

Tìm tọa độ \(\overrightarrow x \) sao cho \(\overrightarrow x  + \overrightarrow a  = \overrightarrow b  - \overrightarrow c \)
Phương pháp giải:
- Gọi tọa độ của \(\overrightarrow x \) là \((m, n)\)
- Lập hệ phương trình ẩn m, n với chú ý: Hai véc tơ bằng nhau nếu các tọa độ tương ứng bằng nhau.
Lời giải chi tiết:
Gọi tọa độ của \(\overrightarrow x \) là \((m, n)\). Ta có:
\(\eqalign{
& \overrightarrow x + \overrightarrow a = (m + 2; n +1) \cr 
& \overrightarrow b - \overrightarrow c = (3-(-7);-4-2) \cr &= (10;-6) \cr} \)
Ta có:
\(\eqalign{
& \overrightarrow x  + \overrightarrow a  = \overrightarrow b  - \overrightarrow c \cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m + 2 = 10 \hfill \cr 
n + 1 = - 6 \hfill \cr} \right. \Rightarrow m = 8, n = -7 \cr 
& \Rightarrow \overrightarrow x = (8, - 7) \cr} \)
Cách khác:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow x + \overrightarrow a = \overrightarrow b - \overrightarrow c \\
\Leftrightarrow \overrightarrow x = - \overrightarrow a + \overrightarrow b - \overrightarrow c \\
= \left({ - 2 + 3 - \left( { - 7} \right); - 1 - 4 - 2} \right)\\
= \left({8; - 7} \right)
\end{array}\)

Câu c​

Tìm các số \(k\) và \(h\) sao cho \(\overrightarrow c  = k\overrightarrow a  + h\overrightarrow b \)
Phương pháp giải:
- Tìm tọa độ của \(\overrightarrow c\) theo k, h.
- Lập hệ phương trình ẩn k, h suy ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow c  = k\overrightarrow a  + h\overrightarrow b \)\(\Rightarrow \overrightarrow c  = (2k + 3h; k - 4h)\)
Lại có \(\overrightarrow c =( - 7; 2)\) nên ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \matrix{
2k + 3h = - 7 \hfill \cr 
k - 4h = 2 \hfill \cr} \right.\)
Giải hệ phương trình này ta được: \(k = -2, h = -1\)