Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\) với các cạnh \(AB=c, BC=a, CA=b.\)
a) Gọi \(CM\) là đường phân giác trong của góc \(C\). Hãy biểu thị vec tơ \(\overrightarrow {CM} \) theo các vec tơ \(\overrightarrow {CA} \) và \(\overrightarrow {CB} \).
b) Gọi \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng
\(a\overrightarrow {IA} + b\overrightarrow {IB} + c\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).
a) Gọi \(CM\) là đường phân giác trong của góc \(C\). Hãy biểu thị vec tơ \(\overrightarrow {CM} \) theo các vec tơ \(\overrightarrow {CA} \) và \(\overrightarrow {CB} \).
b) Gọi \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng
\(a\overrightarrow {IA} + b\overrightarrow {IB} + c\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).
Lời giải chi tiết
A) Theo tính chất đường phân giác, ta có
\(\dfrac{{AM}}{{BM}} = \dfrac{{CA}}{{CB}} = \dfrac{b}{a}\), suy ra \(\overrightarrow {MA} = - \dfrac{b}{a}\overrightarrow {MB} \).
Từ đó, ta có \(\overrightarrow {CM} = \dfrac{{\overrightarrow {CA} + \dfrac{b}{a}\overrightarrow {CB} }}{{1 + \dfrac{b}{a}}}\)
\(= \dfrac{a}{{a + b}}\overrightarrow {CA} + \dfrac{b}{{a + b}}\overrightarrow {CB} .\)
b) Vì \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) nên \(AI\) là phân giác của tam giác \(ACM\). Bởi vậy theo câu a), ta có biểu thị vec tơ \(\overrightarrow {AI} \) theo hai vec tơ \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AI} = \dfrac{{AC}}{{AC + AM}}\overrightarrow {AM} + \dfrac{{AM}}{{AC + AM}}\overrightarrow {AC}\\ = \dfrac{b}{{b + \dfrac{{bc}}{{a + b}}}}.\dfrac{b}{{a + b}}\overrightarrow {AB} + \dfrac{{\dfrac{{bc}}{{a + b}}}}{{b + \dfrac{{bc}}{{a + b}}}}\overrightarrow {AC} \\ = \dfrac{b}{{a + b + c}}\overrightarrow {AB} + \dfrac{c}{{a + b + c}}\overrightarrow {AC}\\ = \dfrac{b}{{a + b + c}}(\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IA}) + \dfrac{c}{{a + b + c}}(\overrightarrow {IC} - \overrightarrow {IA}).\end{array}\)
Suy ra
\(\left( {1 - \dfrac{{b + c}}{{a + b + c}}} \right)\overrightarrow {IA} + \dfrac{b}{{a + b + c}}\overrightarrow {IB} + \dfrac{c}{{a + b + c}}\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow a\overrightarrow {IA} + b\overrightarrow {IB} + c\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 .\)
A) Theo tính chất đường phân giác, ta có
\(\dfrac{{AM}}{{BM}} = \dfrac{{CA}}{{CB}} = \dfrac{b}{a}\), suy ra \(\overrightarrow {MA} = - \dfrac{b}{a}\overrightarrow {MB} \).
Từ đó, ta có \(\overrightarrow {CM} = \dfrac{{\overrightarrow {CA} + \dfrac{b}{a}\overrightarrow {CB} }}{{1 + \dfrac{b}{a}}}\)
\(= \dfrac{a}{{a + b}}\overrightarrow {CA} + \dfrac{b}{{a + b}}\overrightarrow {CB} .\)
b) Vì \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) nên \(AI\) là phân giác của tam giác \(ACM\). Bởi vậy theo câu a), ta có biểu thị vec tơ \(\overrightarrow {AI} \) theo hai vec tơ \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AI} = \dfrac{{AC}}{{AC + AM}}\overrightarrow {AM} + \dfrac{{AM}}{{AC + AM}}\overrightarrow {AC}\\ = \dfrac{b}{{b + \dfrac{{bc}}{{a + b}}}}.\dfrac{b}{{a + b}}\overrightarrow {AB} + \dfrac{{\dfrac{{bc}}{{a + b}}}}{{b + \dfrac{{bc}}{{a + b}}}}\overrightarrow {AC} \\ = \dfrac{b}{{a + b + c}}\overrightarrow {AB} + \dfrac{c}{{a + b + c}}\overrightarrow {AC}\\ = \dfrac{b}{{a + b + c}}(\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IA}) + \dfrac{c}{{a + b + c}}(\overrightarrow {IC} - \overrightarrow {IA}).\end{array}\)
Suy ra
\(\left( {1 - \dfrac{{b + c}}{{a + b + c}}} \right)\overrightarrow {IA} + \dfrac{b}{{a + b + c}}\overrightarrow {IB} + \dfrac{c}{{a + b + c}}\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow a\overrightarrow {IA} + b\overrightarrow {IB} + c\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 .\)