Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(M, N, P\) là các điểm chia các đoạn thẳng \(AB, BC, CA\) theo cùng tỉ số \(k \ne 1\). Chứng minh rằng hai tam giác \(ABC\) và \(MNP\) có cùng trọng tâm.
Phương pháp giải
Sử dụng kết quả bài tập 16 trang 8 SBT Hình học 10 nâng cao:
Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k khác 1 thì với điểm G ta có: \(\overrightarrow {GM} = \dfrac{{\overrightarrow {GA} - k\overrightarrow {GB} }}{{1 - k}}\)
Lời giải chi tiết
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(MNP\) thì ta có
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GP} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \frac{{\overrightarrow {GA} - k\overrightarrow {GB} }}{{1 - k}} + \frac{{\overrightarrow {GB} - k\overrightarrow {GC} }}{{1 - k}} + \frac{{\overrightarrow {GC} - k\overrightarrow {GA} }}{{1 - k}} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \frac{{\overrightarrow {GA} - k\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GB} - k\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GC} - k\overrightarrow {GA} }}{{1 - k}} = \overrightarrow 0 \\\Leftrightarrow \frac{{\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) - k\left({\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right)}}{{1 - k}} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \frac{{\left({1 - k} \right)\left({\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right)}}{{1 - k}} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \end{array}\)
Sử dụng kết quả bài tập 16 trang 8 SBT Hình học 10 nâng cao:
Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k khác 1 thì với điểm G ta có: \(\overrightarrow {GM} = \dfrac{{\overrightarrow {GA} - k\overrightarrow {GB} }}{{1 - k}}\)
Lời giải chi tiết
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(MNP\) thì ta có
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GP} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \frac{{\overrightarrow {GA} - k\overrightarrow {GB} }}{{1 - k}} + \frac{{\overrightarrow {GB} - k\overrightarrow {GC} }}{{1 - k}} + \frac{{\overrightarrow {GC} - k\overrightarrow {GA} }}{{1 - k}} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \frac{{\overrightarrow {GA} - k\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GB} - k\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GC} - k\overrightarrow {GA} }}{{1 - k}} = \overrightarrow 0 \\\Leftrightarrow \frac{{\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) - k\left({\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right)}}{{1 - k}} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \frac{{\left({1 - k} \right)\left({\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right)}}{{1 - k}} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \end{array}\)