Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC,\) \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\). Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua \(I\), lần lượt cắt hai đường thẳng \(CA\) và \(CB\) tại \(A’\) và \(B’\). Chứng minh rằng giao điểm \(M\) của \(AB’\) và \(A’B\) nằm trên một đường thẳng cố định.
Phương pháp giải
Áp dụng kết quả bài tập 19 trang 8 SBT Hình học nâng cao 10:
Cho tam giác \(ABC\). Các điểm \(M, N, P\) lần lượt chia các đoạn thẳng \(AB, BC, CA\) theo các tỉ số lần lượt là \(m, n, p\) (đều khác 1). Khi đó:
\(AN, CM, BP\) đồng quy hoặc song song khi và chỉ khi \(mnp=-1\) (Định lí Xê-va).
Lời giải chi tiết
Đặt \(\overrightarrow {CB} = m\overrightarrow {CB'} , \overrightarrow {MB'} = n\overrightarrow {MA} \).
Xét tam giác \(ABB’\) với ba đường đồng quy là \(AC, BM, B’I\) (đồng quy tại \(A’\)).
Vì \(\overrightarrow {IA} = - \overrightarrow {IB} \) nên theo định lí Xê-va, ta có \(– mn = -1\) hay \(mn=1\).
Từ \(\overrightarrow {MB'} = n\overrightarrow {MA} \) ta suy ra \(m\overrightarrow {MB'} = mn\overrightarrow {MA} = \overrightarrow {MA} \).
Vậy ta có \(\overrightarrow {CB} = m\overrightarrow {CB'} \) và \(\overrightarrow {MA} = m\overrightarrow {MB'} \) điều này chứng tỏ rằng \(CM//AB\).
Vậy điểm \(M\) luôn nằm trên đường thẳng cố định đi qua \(C\) và song song với \(AB\).
Áp dụng kết quả bài tập 19 trang 8 SBT Hình học nâng cao 10:
Cho tam giác \(ABC\). Các điểm \(M, N, P\) lần lượt chia các đoạn thẳng \(AB, BC, CA\) theo các tỉ số lần lượt là \(m, n, p\) (đều khác 1). Khi đó:
\(AN, CM, BP\) đồng quy hoặc song song khi và chỉ khi \(mnp=-1\) (Định lí Xê-va).
Lời giải chi tiết
Đặt \(\overrightarrow {CB} = m\overrightarrow {CB'} , \overrightarrow {MB'} = n\overrightarrow {MA} \).
Xét tam giác \(ABB’\) với ba đường đồng quy là \(AC, BM, B’I\) (đồng quy tại \(A’\)).
Vì \(\overrightarrow {IA} = - \overrightarrow {IB} \) nên theo định lí Xê-va, ta có \(– mn = -1\) hay \(mn=1\).
Từ \(\overrightarrow {MB'} = n\overrightarrow {MA} \) ta suy ra \(m\overrightarrow {MB'} = mn\overrightarrow {MA} = \overrightarrow {MA} \).
Vậy ta có \(\overrightarrow {CB} = m\overrightarrow {CB'} \) và \(\overrightarrow {MA} = m\overrightarrow {MB'} \) điều này chứng tỏ rằng \(CM//AB\).
Vậy điểm \(M\) luôn nằm trên đường thẳng cố định đi qua \(C\) và song song với \(AB\).