Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\) và một điểm \(O\) bất kì. Chứng minh rằng với mọi điểm \(M\) ta luôn luôn tìm được ba số \(\alpha ,\beta ,\gamma \) sao cho \(\alpha + \beta + \gamma = 1\) và \(\overrightarrow {OM} = \alpha \overrightarrow {OA} + \beta \overrightarrow {OB} + \gamma \overrightarrow {OC} \). Nếu điểm \(M\) trùng với trọng tâm tam giác \(ABC\) thì các số \(\alpha ,\beta ,\gamma \) bằng bao nhiêu?
Lời giải chi tiết
Vì hai vec tơ \(\overrightarrow {CA} , \overrightarrow {CB} \) không cùng phương nên ta có các số \(\alpha , \beta \) sao cho \(\overrightarrow {CM} = \alpha \overrightarrow {CA} + \beta \overrightarrow {CB} \), hay là
\(\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OC} = \alpha (\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OC}) + \beta (\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC}).\)
Vậy \(\overrightarrow {OM} = \alpha \overrightarrow {OA} + \beta \overrightarrow {OB} + (1 - \alpha - \beta)\overrightarrow {OC} .\)
Đặt \(\gamma = 1 - \alpha - \beta \) thì \(\alpha + \beta + \gamma = 1\) và \(\overrightarrow {OM} = \alpha \overrightarrow {OA} + \beta \overrightarrow {OB} + \gamma \overrightarrow {OC} \).
Nếu M trùng G thì ta có \(\overrightarrow {OG} = \dfrac{1}{3}(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC}).\)
Vậy \(\alpha = \beta = \gamma = \dfrac{1}{3}\).
Vì hai vec tơ \(\overrightarrow {CA} , \overrightarrow {CB} \) không cùng phương nên ta có các số \(\alpha , \beta \) sao cho \(\overrightarrow {CM} = \alpha \overrightarrow {CA} + \beta \overrightarrow {CB} \), hay là
\(\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OC} = \alpha (\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OC}) + \beta (\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC}).\)
Vậy \(\overrightarrow {OM} = \alpha \overrightarrow {OA} + \beta \overrightarrow {OB} + (1 - \alpha - \beta)\overrightarrow {OC} .\)
Đặt \(\gamma = 1 - \alpha - \beta \) thì \(\alpha + \beta + \gamma = 1\) và \(\overrightarrow {OM} = \alpha \overrightarrow {OA} + \beta \overrightarrow {OB} + \gamma \overrightarrow {OC} \).
Nếu M trùng G thì ta có \(\overrightarrow {OG} = \dfrac{1}{3}(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC}).\)
Vậy \(\alpha = \beta = \gamma = \dfrac{1}{3}\).