Bài 33 trang 10 SBT Hình học 10 Nâng cao

Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC.\)

Câu a​

Hãy xác định các điểm \(G, P, Q, R, S\) sao cho:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0;\\2\overrightarrow {PA}  + \overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {PC}  = \overrightarrow 0 ;\\\overrightarrow {QA}  + 3\overrightarrow {QB}  + 2\overrightarrow {QC}  = \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {RA}  - \overrightarrow {RB}  + \overrightarrow {RC}  = \overrightarrow 0 ;\\5\overrightarrow {SA}  - 2\overrightarrow {SB}  - \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow 0 ; \end{array}\)
Lời giải chi tiết:
\(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0\)
\(\Leftrightarrow G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).
\(2\overrightarrow {PA}  + \overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {PC}  = \overrightarrow 0 \)
\(\Leftrightarrow 2\overrightarrow {PA}  + 2\overrightarrow {PD}  = \overrightarrow 0 \)(\(D\) là trung điểm của cạnh \(BC\)).
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {PA}  + \overrightarrow {PD}  = \overrightarrow 0 \)
Vậy \(P\) là trung điểm của trung tuyến \(AD\).
\(\overrightarrow {QA}  + 3\overrightarrow {QB}  + 2\overrightarrow {QC}  = \overrightarrow 0\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {QA}  + \overrightarrow {QB}  + 2(\overrightarrow {QB}  + \overrightarrow {QC}) = \overrightarrow {0 } \)
\(\Leftrightarrow 2\overrightarrow {QE}  + 4\overrightarrow {QD}  = \overrightarrow 0 \) (\(E\) là trung điểm cạnh \(AB, D\) là trung điểm của \(BC\)) \(\Leftrightarrow \overrightarrow {QE}  + 2(\overrightarrow {QE}  + \overrightarrow {ED}) = \overrightarrow 0 \)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {EQ}  = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {ED} \).
\(\overrightarrow {RA}  - \overrightarrow {RB}  + \overrightarrow {RC}  = \overrightarrow 0 \)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {RC}  = \overrightarrow 0 \)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {CR}  = \overrightarrow {BA} .\)
\(\begin{array}{l}5\overrightarrow {SA}  - 2\overrightarrow {SB}  - \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow 0\\ \Leftrightarrow 5\overrightarrow {SA}  - 2(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {AB}) - (\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {AC}) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AS}  =  - \overrightarrow {AB}  - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\end{array}\)

Câu b​

Với điểm \(O\) bất kì và với các điểm \(G, P, Q, R, S\) ở câu a), chứng minh rằng :
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OG}  = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {OA}  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {OB}  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {OC} ;\\\overrightarrow {OP}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OA}  + \dfrac{1}{4}\overrightarrow {OB}  + \dfrac{1}{4}\overrightarrow {OC} \\\overrightarrow {OQ}  = \dfrac{1}{6}\overrightarrow {OA}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OB}  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {OC} ;\\ \overrightarrow {OR}  = \overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} ;\\\overrightarrow {OS}  = \dfrac{5}{2}\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OB}  - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OC} .\end{array}\)
Phương pháp giải:
Hướng dẫn: Xuất phát từ câu a), hãy viết mỗi vec tơ thành hiệu hai vec tơ có điểm đầu là O.
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
+ ) \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OG} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \left({\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right) - 3\overrightarrow {OG} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow 3\overrightarrow {OG} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {OB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {OC} \\
+ ) 2\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {PC} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow 2\left({\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OP} } \right) + \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OP} + \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OP} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow 2\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} - 4\overrightarrow {OP} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow 4\overrightarrow {OP} = 2\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OP} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} + \frac{1}{4}\overrightarrow {OB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {OC} \\
+ ) \overrightarrow {QA} + 3\overrightarrow {QB} + 2\overrightarrow {QC} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OQ} + 3\left({\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OQ} } \right) + 2\left({\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OQ} } \right) = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OA} + 3\overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} - 6\overrightarrow {OQ} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow 6\overrightarrow {OQ} = \overrightarrow {OA} + 3\overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OQ} = \frac{1}{6}\overrightarrow {OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {OC} \\
+ ) \overrightarrow {RA} - \overrightarrow {RB} + \overrightarrow {RC} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OR} - \left({\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OR} } \right) + \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OR} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \left({\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right) - \overrightarrow {OR} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OR} = \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \\
+ ) 5\overrightarrow {SA} - 2\overrightarrow {SB} - \overrightarrow {SC} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow 5\left({\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OS} } \right) - 2\left({\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OS} } \right) - \left({\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OS} } \right) = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \left({5\overrightarrow {OA} - 2\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} } \right) - 2\overrightarrow {OS} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow 2\overrightarrow {OS} = 5\overrightarrow {OA} - 2\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OS} = \frac{5}{2}\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {OC}
\end{array}\)