Google
Câu hỏi: Cho tam giác ABC và các điểm \(A_1, B_1, C_1\) lần lượt nằm trên các đường thẳng \(BC, CA, AB\). Gọi \(A_2, B_2, C_2\) lần lượt là các điểm đối xứng với \(A_1, B_1, C_1\) qua trung điểm của \(BC, CA, AB\). Chứng minh rằng
a) Nếu ba điểm \(A_1, B_1, C_1\) thẳng hàng thì ba điểm \(A_2, B_2, C_2\) cũng thế;
b) Nếu ba đường thẳng \(AA_1, BB_1, CC_1\) đồng quy hoặc song song thì ba đường thẳng \(AA_2, BB_2, CC_2\) cũng thế.
a) Nếu ba điểm \(A_1, B_1, C_1\) thẳng hàng thì ba điểm \(A_2, B_2, C_2\) cũng thế;
b) Nếu ba đường thẳng \(AA_1, BB_1, CC_1\) đồng quy hoặc song song thì ba đường thẳng \(AA_2, BB_2, CC_2\) cũng thế.
Phương pháp giải
Áp dụng kết quả bài tập 19 trang 8 SBT Hình học nâng cao 10:
Cho tam giác \(ABC\). Các điểm \(M, N, P\) lần lượt chia các đoạn thẳng \(AB, BC, CA\) theo các tỉ số lần lượt là \(m, n, p\) (đều khác 1). Khi đó,
a) \(M, N, P\) thẳng hàng khi và chỉ khi \(mnp=1\) (Định lí Mê-nê-la-uýt);
b) \(AN, CM, BP\) đồng quy hoặc song song khi và chỉ khi \(mnp=-1\) (Định lí Xê-va).
Lời giải chi tiết
Gọi \(k, l, m\) là các số sao cho \(\overrightarrow {{A_1}B} = k\overrightarrow {{A_1}C};\) \(\overrightarrow {{B_1}C} = l\overrightarrow {{B_1}A};\) \(\overrightarrow {{C_1}A} = m\overrightarrow {{C_1}B} \).
Gọi D là trung điểm của BC ta có:
\({A_2}C = {A_2}D + DC\) \(= {A_1}D + DB = {A_1}B\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow {A_2}C = {A_1}B\\
\Rightarrow {A_2}C - BC = {A_1}B - BC\\
\Rightarrow {A_1}C = {A_2}B
\end{array}\)
Mà \(\overrightarrow {{A_1}B} = k\overrightarrow {{A_1}C} \Rightarrow \overrightarrow {{A_2}C} = k\overrightarrow {{A_2}B} \)
Tương tự \(\overrightarrow {{B_2}A} = l\overrightarrow {{B_2}C} ,\overrightarrow {{C_2}B} = m\overrightarrow {{C_2}A} \)
a) Ba điểm \({A_1},{B_1},{C_1}\) thẳng hàng \(\Leftrightarrow klm = 1\)
\(\Leftrightarrow \) ba điểm \({A_2},{B_2},{C_2}\) thẳng hàng (định lí Mê-nê-la-uýt)
b) Ba đường thẳng \(A{A_1}, B{B_1}, C{C_1}\) đồng quy hoặc song song\(\Leftrightarrow klm = -1\)
\(\Leftrightarrow \) Ba đường thẳng \(A{A_2}, B{B_2}, C{C_2}\) đồng quy hoặc song song (định lí Xê-va)
Áp dụng kết quả bài tập 19 trang 8 SBT Hình học nâng cao 10:
Cho tam giác \(ABC\). Các điểm \(M, N, P\) lần lượt chia các đoạn thẳng \(AB, BC, CA\) theo các tỉ số lần lượt là \(m, n, p\) (đều khác 1). Khi đó,
a) \(M, N, P\) thẳng hàng khi và chỉ khi \(mnp=1\) (Định lí Mê-nê-la-uýt);
b) \(AN, CM, BP\) đồng quy hoặc song song khi và chỉ khi \(mnp=-1\) (Định lí Xê-va).
Lời giải chi tiết
Gọi \(k, l, m\) là các số sao cho \(\overrightarrow {{A_1}B} = k\overrightarrow {{A_1}C};\) \(\overrightarrow {{B_1}C} = l\overrightarrow {{B_1}A};\) \(\overrightarrow {{C_1}A} = m\overrightarrow {{C_1}B} \).
Gọi D là trung điểm của BC ta có:
\({A_2}C = {A_2}D + DC\) \(= {A_1}D + DB = {A_1}B\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow {A_2}C = {A_1}B\\
\Rightarrow {A_2}C - BC = {A_1}B - BC\\
\Rightarrow {A_1}C = {A_2}B
\end{array}\)
Mà \(\overrightarrow {{A_1}B} = k\overrightarrow {{A_1}C} \Rightarrow \overrightarrow {{A_2}C} = k\overrightarrow {{A_2}B} \)
Tương tự \(\overrightarrow {{B_2}A} = l\overrightarrow {{B_2}C} ,\overrightarrow {{C_2}B} = m\overrightarrow {{C_2}A} \)
a) Ba điểm \({A_1},{B_1},{C_1}\) thẳng hàng \(\Leftrightarrow klm = 1\)
\(\Leftrightarrow \) ba điểm \({A_2},{B_2},{C_2}\) thẳng hàng (định lí Mê-nê-la-uýt)
b) Ba đường thẳng \(A{A_1}, B{B_1}, C{C_1}\) đồng quy hoặc song song\(\Leftrightarrow klm = -1\)
\(\Leftrightarrow \) Ba đường thẳng \(A{A_2}, B{B_2}, C{C_2}\) đồng quy hoặc song song (định lí Xê-va)