Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\) và đường thẳng \(d\). Tìm điểm \(M\) trên đường thẳng \(d\) sao cho vec tơ \(\overrightarrow u = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} \) có độ dài nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết
Với mọi điểm \(O\) ta có
\(\begin{array}{l}\overrightarrow u = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} \\ = \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OM} \\+ 2(\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OM})\\= \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} - 4\overrightarrow {OM} .\end{array}\)
Ta chọn điểm \(O\) sao cho \(\overrightarrow v = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 \).
(Chú ý rằng nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì
\(\overrightarrow v = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OC}\)
\( = 3\overrightarrow {OG} + \overrightarrow {OC} \)
\(= 4\overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GC} \). Bởi vậy để \(\overrightarrow v = \overrightarrow 0 \), ta chọn điểm O sao cho \(\overrightarrow {GO} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {GC} \)).
Khi đó, \(\overrightarrow u = - 4\overrightarrow {OM} \) và do đó \(|\overrightarrow u | = 4OM\). Độ dài vec tơ \(\overrightarrow u \) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(4OM\) nhỏ nhất hay \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) trên \(d.\)
Với mọi điểm \(O\) ta có
\(\begin{array}{l}\overrightarrow u = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} \\ = \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OM} \\+ 2(\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OM})\\= \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} - 4\overrightarrow {OM} .\end{array}\)
Ta chọn điểm \(O\) sao cho \(\overrightarrow v = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 \).
(Chú ý rằng nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì
\(\overrightarrow v = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OC}\)
\( = 3\overrightarrow {OG} + \overrightarrow {OC} \)
\(= 4\overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GC} \). Bởi vậy để \(\overrightarrow v = \overrightarrow 0 \), ta chọn điểm O sao cho \(\overrightarrow {GO} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {GC} \)).
Khi đó, \(\overrightarrow u = - 4\overrightarrow {OM} \) và do đó \(|\overrightarrow u | = 4OM\). Độ dài vec tơ \(\overrightarrow u \) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(4OM\) nhỏ nhất hay \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) trên \(d.\)