Bài 15 trang 7 SBT Hình học 10 Nâng cao

Câu hỏi: Cho ba điểm phân biệt \(A, B, C.\)

Câu a​

Chứng minh rằng nếu có một điểm \(I\) và một số \(t\) nào đó sao cho \(\overrightarrow {IA}  = t\overrightarrow {IB}  + (1 - t)\overrightarrow {IC} \) thì với mọi điểm \(I’\), ta có
\(\overrightarrow {I'A}  = t\overrightarrow {I'B}  + (1 - t)\overrightarrow {I'C} \)
Lời giải chi tiết:
Theo giả thiết \(\overrightarrow {IA}  = t\overrightarrow {IB}  + (1 - t)\overrightarrow {IC} \) thì với mọi điểm \(I’\), ta có
\(\overrightarrow {II'}  + \overrightarrow {I'A} \) \(= t(\overrightarrow {II'}  + \overrightarrow {I'B}) + (1 - t)(\overrightarrow {II'}  + \overrightarrow {I'C}) \)
\(= t\overrightarrow {II'}  + t\overrightarrow {I'B}  + \left( {1 - t} \right)\overrightarrow {II'}  + \left({1 - t} \right)\overrightarrow {I'C} \) \(= t\overrightarrow {I'B}  + (1 - t)\overrightarrow {I'C}  + \overrightarrow {II'} \)
Suy ra \(\overrightarrow {I'A}  = t\overrightarrow {I'B}  + (1 - t)\overrightarrow {I'C} \)

Câu b​

Chứng tỏ rằng \(\overrightarrow {IA}  = t\overrightarrow {IB}  + (1 - t)\overrightarrow {IC} \) là điều kiện cần và đủ  để ba điểm \(A, B, C\) thẳng hàng.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {IA} = t\overrightarrow {IB} + \left({1 - t} \right)\overrightarrow {IC} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {IA} = t\left({\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} } \right) + \left({1 - t} \right)\left({\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AC} } \right)\\
\Leftrightarrow \overrightarrow {IA} = t\overrightarrow {IA} + t\overrightarrow {AB} + \left({1 - t} \right)\overrightarrow {IA} + \left({1 - t} \right)\overrightarrow {AC} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {IA} = \left[ {t\overrightarrow {IA} + \left({1 - t} \right)\overrightarrow {IA} } \right] + t\overrightarrow {AB} + \left({1 - t} \right)\overrightarrow {AC} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {IA} = \left({t + 1 - t} \right)\overrightarrow {IA} + t\overrightarrow {AB} + \left({1 - t} \right)\overrightarrow {AC} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {IA} = \overrightarrow {IA} + t\overrightarrow {AB} + \left({1 - t} \right)\overrightarrow {AC} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow 0 = t\overrightarrow {AB} + \left({1 - t} \right)\overrightarrow {AC} \\
\Leftrightarrow t\overrightarrow {AB} + \left({1 - t} \right)\overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0
\end{array}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = \frac{{t - 1}}{t}\overrightarrow {AC} \) (do \(t\ne 0\))
\(\Leftrightarrow \) ba điểm \(A, B, C\) thẳng hàng.