Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\) và trung tuyến \(AM\). Một đường thẳng song song với \(AB\) cắt các đoạn thẳng \(AM, AC, BC\) lần lượt tại \(D, E, F\). Một điểm \(G\) nằm trên cạnh \(AB\) sao cho \(FG//AC\). Chứng minh rằng hai tam giác \(ADE\) và \(BFG\) có diện tích bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Ta đặt \(\overrightarrow {CA} = \overrightarrow a ; \overrightarrow {CB} = \overrightarrow b \). \(\overrightarrow {CM} = \dfrac{{\overrightarrow b }}{2}\).
Vì E nằm trên đoạn thẳng \(AC\) nên có số k sao cho \(\overrightarrow {CE} = k\overrightarrow {CA} = k\overrightarrow a \), với \(0<k<1\).
Khi đó \(\overrightarrow {CF} = k\overrightarrow {CB} = k\overrightarrow b \).
Điểm \(D\) nằm trên \(AM\) và \(EF\) nên có hai số \(x, y\) sao cho
\(\overrightarrow {CD} = x\overrightarrow {CA} + (1 - x)\overrightarrow {CM}\)
\( = y\overrightarrow {CE} + (1 - y)\overrightarrow {CF} \)
hay \(x\overrightarrow a + \dfrac{{1 - x}}{2}\overrightarrow b = ky\overrightarrow a + k(1 - y)\overrightarrow b .\)
Vì hai vec tơ \(\overrightarrow a , \overrightarrow b \) không cùng phương nên \(x = ky , \dfrac{{1 - x}}{2} = k(1 - y)\).
Suy ra \(x=2k-1\), do đó \(\overrightarrow {CD} = (2k - 1)\overrightarrow a + (1 - k)\overrightarrow b \).
Ta có \(\overrightarrow {ED} = \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {CE}\)
\(= (2k - 1)\overrightarrow a + (1 - k)\overrightarrow b - k\overrightarrow a\)
\( = (1 - k)(\overrightarrow b - \overrightarrow a) = (1 - k)\overrightarrow {AB} \)
Vì \(\overrightarrow {CF} = k\overrightarrow {CB} \) nên \(\overrightarrow {AG} = k\overrightarrow {AB} \) hay \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BG} = k\overrightarrow {AB} \), suy ra \((1 - k)\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {GB} \).
Do đó ED=GB.
Hai tam giác ADE và BFG có các cạnh đáy ED và GB bằng nhau, chiều cao bằng nhau (bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng song song) nên có diện tích bằng nhau.
Ta đặt \(\overrightarrow {CA} = \overrightarrow a ; \overrightarrow {CB} = \overrightarrow b \). \(\overrightarrow {CM} = \dfrac{{\overrightarrow b }}{2}\).
Vì E nằm trên đoạn thẳng \(AC\) nên có số k sao cho \(\overrightarrow {CE} = k\overrightarrow {CA} = k\overrightarrow a \), với \(0<k<1\).
Khi đó \(\overrightarrow {CF} = k\overrightarrow {CB} = k\overrightarrow b \).
Điểm \(D\) nằm trên \(AM\) và \(EF\) nên có hai số \(x, y\) sao cho
\(\overrightarrow {CD} = x\overrightarrow {CA} + (1 - x)\overrightarrow {CM}\)
\( = y\overrightarrow {CE} + (1 - y)\overrightarrow {CF} \)
hay \(x\overrightarrow a + \dfrac{{1 - x}}{2}\overrightarrow b = ky\overrightarrow a + k(1 - y)\overrightarrow b .\)
Vì hai vec tơ \(\overrightarrow a , \overrightarrow b \) không cùng phương nên \(x = ky , \dfrac{{1 - x}}{2} = k(1 - y)\).
Suy ra \(x=2k-1\), do đó \(\overrightarrow {CD} = (2k - 1)\overrightarrow a + (1 - k)\overrightarrow b \).
Ta có \(\overrightarrow {ED} = \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {CE}\)
\(= (2k - 1)\overrightarrow a + (1 - k)\overrightarrow b - k\overrightarrow a\)
\( = (1 - k)(\overrightarrow b - \overrightarrow a) = (1 - k)\overrightarrow {AB} \)
Vì \(\overrightarrow {CF} = k\overrightarrow {CB} \) nên \(\overrightarrow {AG} = k\overrightarrow {AB} \) hay \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BG} = k\overrightarrow {AB} \), suy ra \((1 - k)\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {GB} \).
Do đó ED=GB.
Hai tam giác ADE và BFG có các cạnh đáy ED và GB bằng nhau, chiều cao bằng nhau (bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng song song) nên có diện tích bằng nhau.