Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC.\) Gọi \(D, E, F\) theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \(BC, CA, AB.\)
a) Xác định vectơ \(\overrightarrow {AF} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} \)
b) Xác định điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow {AF} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} = \overrightarrow {MA} .\)
c) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AB} .\)
a) Xác định vectơ \(\overrightarrow {AF} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} \)
b) Xác định điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow {AF} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} = \overrightarrow {MA} .\)
c) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AB} .\)
Phương pháp giải
- Chứng minh \(\overrightarrow {AF} = \overrightarrow {FB} ,\) \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {DC} \)
- Áp dụng quy tắc hình bình hành với hai vectơ \(\overrightarrow {CE} \) và \(\overrightarrow {CD} \)
- Chứng minh tứ giác \(ABCM\) là hình bình hành
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(DF\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\)
\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {CE} = \overrightarrow {DF} \)
\( \Rightarrow \) tứ giác \(CDFE\) là hình bình hành.
Ta có: \(D\) và \(F\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AB\)
\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AF} = \overrightarrow {FB} ,\) \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {DC} \)
Ta có: \(\overrightarrow {AF} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CE} = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {CF} + \overrightarrow {FB} = \overrightarrow {CB} \)
b) Theo câu a, ta có: \(\overrightarrow {AF} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} = \overrightarrow {CB} \)
mặt khác \(\overrightarrow {AF} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} = \overrightarrow {MA} .\)
nên \(\overrightarrow {CB} = \overrightarrow {MA} \)
\( \Rightarrow \) tứ giác \(ABCM\) là hình bình hành
\( \Rightarrow \) \(M\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(E\)
c) Theo câu b, ta có: tứ giác \(ABCM\) là hình bình hành
\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AB} .\)
- Chứng minh \(\overrightarrow {AF} = \overrightarrow {FB} ,\) \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {DC} \)
- Áp dụng quy tắc hình bình hành với hai vectơ \(\overrightarrow {CE} \) và \(\overrightarrow {CD} \)
- Chứng minh tứ giác \(ABCM\) là hình bình hành
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(DF\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\)
\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {CE} = \overrightarrow {DF} \)
\( \Rightarrow \) tứ giác \(CDFE\) là hình bình hành.
Ta có: \(D\) và \(F\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AB\)
\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AF} = \overrightarrow {FB} ,\) \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {DC} \)
Ta có: \(\overrightarrow {AF} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CE} = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {CF} + \overrightarrow {FB} = \overrightarrow {CB} \)
b) Theo câu a, ta có: \(\overrightarrow {AF} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} = \overrightarrow {CB} \)
mặt khác \(\overrightarrow {AF} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} = \overrightarrow {MA} .\)
nên \(\overrightarrow {CB} = \overrightarrow {MA} \)
\( \Rightarrow \) tứ giác \(ABCM\) là hình bình hành
\( \Rightarrow \) \(M\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(E\)
c) Theo câu b, ta có: tứ giác \(ABCM\) là hình bình hành
\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AB} .\)