Google
Câu hỏi: Cho tam giác ABC có ba trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh rằng:
\(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BE} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CF} .\overrightarrow {AB} = 0\)(*)
\(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BE} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CF} .\overrightarrow {AB} = 0\)(*)
Phương pháp giải
Sử dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng để biến đổi vế trái đẳng thức (*)
Lời giải chi tiết
+ Do D là trung điểm BC nên \(\overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\)
+ Do E là trung điểm AC nên \(\overrightarrow {BE} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right)\)
+ Do F là trung điểm AB nên \(\overrightarrow {CF} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BE} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CF} .\overrightarrow {AB} \)\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right).\overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right).\overrightarrow {AB} \)
\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {AB} } \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( { - \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BA} } \right)\)\( = \frac{1}{2}.0 = 0\) (ĐPCM)
Sử dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng để biến đổi vế trái đẳng thức (*)
Lời giải chi tiết
+ Do D là trung điểm BC nên \(\overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\)
+ Do E là trung điểm AC nên \(\overrightarrow {BE} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right)\)
+ Do F là trung điểm AB nên \(\overrightarrow {CF} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BE} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CF} .\overrightarrow {AB} \)\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right).\overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right).\overrightarrow {AB} \)
\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {AB} } \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( { - \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BA} } \right)\)\( = \frac{1}{2}.0 = 0\) (ĐPCM)