Bài 16 trang 8 SBT Hình học 10 Nâng cao

Câu hỏi: Điểm \(M\) gọi là chia đoạn thẳng \(AB\) theo tỉ số \(k \ne 1\) nếu \(\overrightarrow {MA}  = k\overrightarrow {MB} \).

Câu a​

Xét vị trí của điểm \(M\) đối với hai điểm \(A, B\) trong các trường hợp:
\(k \le 0; 0 < k < 1; k > 1; k =  - 1.\)
Lời giải chi tiết:
+) Nếu \(k \le 0\) thì \(\overrightarrow {MA}  = \overrightarrow 0 \) hoặc \(\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB} \) ngược hướng.
Do đó \(M\) nằm giữa \(A\) và \(B\), hoặc trùng với \(A.\)
+) Nếu \(0 < k < 1\) thì \(\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB} \) cùng hướng hay \(A, B\) nằm cùng phía so với \(M\)
Mà \(0 < k < 1\) nên \(MA < MB\) hay \(A\) nằm giữa \(M\) và \(B\).
+) Nếu \(k > 1\) thì \(\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB} \) cùng hướng hay \(A, B\) nằm cùng phía so với \(M\)
Mà k>1 nên MA>MB hay \(B\) nằm giữa \(A\) và \(M\).
Nếu \(k = -1\) thì \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\).

Câu b​

Nếu \(M\) chia đoạn thẳng \(AB\) theo tỉ số \(k \) (\(k \ne 1\) và \(k \ne 0\)) thì \(M\) chia đoạn thẳng \(BA\)  theo tỉ số nào?
Lời giải chi tiết:
Theo giả thiết: \(k \ne 0\) và \(k \ne 1\) ta có
\(M\) chia đoạn thẳng \(AB\) theo tỉ số \(k \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  = k\overrightarrow {MB}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {MB}  = \dfrac{1}{k}\overrightarrow {MA} \)
\(\Leftrightarrow M\) chia đoạn thẳng BA theo tỉ số \(\dfrac{1}{k}\).

Câu c​

Nếu \(M\) chia đoạn thẳng \(AB\) theo tỉ số \(k \) (\(k \ne 1\) và \(k \ne 0\)) thì \(A\) chia đoạn thẳng \(MB\)  theo tỉ số nào? \(B\) chia đoạn thẳng \(MA\)  theo tỉ lệ nào?
Lời giải chi tiết:
M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số  \(k\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  = k\overrightarrow {MB}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  = k(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AB})\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \overrightarrow {MA} - k\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {AB} \\
\Leftrightarrow \left({1 - k} \right)\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {AB} \\
\Leftrightarrow \left({k - 1} \right)\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AB}
\end{array}\)
\(\Leftrightarrow  \overrightarrow {AM}  = \dfrac{k}{{k - 1}}\overrightarrow {AB}\)
\(\Leftrightarrow A\) chia đoạn thẳng MB theo tỉ số \(\dfrac{k}{{k - 1}}\).
M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số \(k\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  = k\overrightarrow {MB} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BM}  = k\overrightarrow {MB} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {BA}  = k\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BM} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {BA}  =  - k\overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {BM}  \\\Leftrightarrow \overrightarrow {BA}  = \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {BM} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {BM}  = \dfrac{1}{{1 - k}}\overrightarrow {BA} \end{array}\)
\(\Leftrightarrow B\) chia đoạn thẳng MA theo tỉ số \(\dfrac{1}{{1 - k}}\)

Câu d​

Chứng minh rằng: Nếu điểm \(M\) chia đoạn thẳng \(AB\) theo tỉ số \(k \ne 1\) thì với điểm \(O\) bất kì, ta luôn có
\(\overrightarrow {OM}  = \dfrac{{\overrightarrow {OA}  - k\overrightarrow {OB} }}{{1 - k}}\).
Lời giải chi tiết:
M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số \(k \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  = k\overrightarrow {MB} \)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OM}  = k(\overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OM})\) (trong đó O là điểm bất kì)
\(\eqalign{  &  \Leftrightarrow \overrightarrow {OA}  - k\overrightarrow {OB}  = (1 - k)\overrightarrow {OM}   \cr  &  \Leftrightarrow \overrightarrow {OM}  = {{\overrightarrow {OA}  - k\overrightarrow {OB} } \over {1 - k}} \cr} \)