Google
Câu hỏi: Cho ngũ giác \(ABCDE\). Gọi \(M, N, P, Q\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB, BC, CD, DE\). Gọi \(I\) và \(J\) lần lượt là trung điểm các đoạn \(MP\) và \(NQ\).
Chứng minh rằng \(IJ// AE\) và \(IJ = \dfrac{1}{4}AE\).
Chứng minh rằng \(IJ// AE\) và \(IJ = \dfrac{1}{4}AE\).
Phương pháp giải
Sử dụng tính chất trung điểm:
Cho điểm I là trung điểm AB, với điểm M bất kì ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \)
Lời giải chi tiết
J là trung điểm của NQ nên với điểm I ta có:
\(\eqalign{ & 2\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IQ} + \overrightarrow {IN} \cr & = \overrightarrow {IM} + \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {IP} + \overrightarrow {PN} \cr & = \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {PN} (do \overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IP} = \overrightarrow 0) \cr} \)
Mà
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {EQ} \\
\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DQ} \\
\Rightarrow 2\overrightarrow {MQ} = \left({\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right)\\
+ \left({\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BD} } \right) + \left({\overrightarrow {EQ} + \overrightarrow {DQ} } \right)\\
\Rightarrow 2\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BD} \\
\Rightarrow \overrightarrow {MQ} = \frac{1}{2}\left({\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BD} } \right)\\
\Rightarrow \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {PN} = \frac{1}{2}\left({\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BD} } \right) + \frac{1}{2}\overrightarrow {DB} \\
= \frac{1}{2}\overrightarrow {AE} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DB} \\
= \frac{1}{2}\overrightarrow {AE} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} - \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} \\
= \frac{1}{2}\overrightarrow {AE}
\end{array}\)
\(\Rightarrow 2\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AE} \Rightarrow \overrightarrow {IJ} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AE} \)
Suy ra \(IJ // AE\) và \(IJ = \dfrac{1}{4}AE\).
Sử dụng tính chất trung điểm:
Cho điểm I là trung điểm AB, với điểm M bất kì ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \)
Lời giải chi tiết
J là trung điểm của NQ nên với điểm I ta có:
\(\eqalign{ & 2\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IQ} + \overrightarrow {IN} \cr & = \overrightarrow {IM} + \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {IP} + \overrightarrow {PN} \cr & = \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {PN} (do \overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IP} = \overrightarrow 0) \cr} \)
Mà
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {EQ} \\
\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DQ} \\
\Rightarrow 2\overrightarrow {MQ} = \left({\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right)\\
+ \left({\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BD} } \right) + \left({\overrightarrow {EQ} + \overrightarrow {DQ} } \right)\\
\Rightarrow 2\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BD} \\
\Rightarrow \overrightarrow {MQ} = \frac{1}{2}\left({\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BD} } \right)\\
\Rightarrow \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {PN} = \frac{1}{2}\left({\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BD} } \right) + \frac{1}{2}\overrightarrow {DB} \\
= \frac{1}{2}\overrightarrow {AE} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DB} \\
= \frac{1}{2}\overrightarrow {AE} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} - \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} \\
= \frac{1}{2}\overrightarrow {AE}
\end{array}\)
\(\Rightarrow 2\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AE} \Rightarrow \overrightarrow {IJ} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AE} \)
Suy ra \(IJ // AE\) và \(IJ = \dfrac{1}{4}AE\).