Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat A < {90^ \circ }.\) Dựng ra phía ngoài tam giác hai tam giác vuông cân đỉnh \(A\) là \(ABD\) và \(ACE.\) Gọi \(M, N, P\) theo thứ tự là trung điểm \(BC, BD, CE.\) Chứng minh rằng:
a) \(AM\) vuông góc với \(DE.\)
b) \(BE\) vuông góc với \(CD.\)
c) Tam giác \(MNP\) là một tam giác vuông cân.
a) \(AM\) vuông góc với \(DE.\)
b) \(BE\) vuông góc với \(CD.\)
c) Tam giác \(MNP\) là một tam giác vuông cân.
Phương pháp giải
- Tính các vectơ \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {DE} \) xong chứng minh tích vô hướng \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {DE} = 0\)
- Tính các vectơ \(\overrightarrow {BE} \) và \(\overrightarrow {CD} \) xong chứng minh tích vô hướng \(\overrightarrow {BE} .\overrightarrow {CD} = 0\)
- Chứng minh \(MN\)//\(CD\) và \(MP\)//\(BE\)
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(\overrightarrow {DE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {DE} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AD} } \right)\)
\(\begin{array}{l} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} } \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} } \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {AB.AE.\cos \widehat {BAE} - AC.AD.\cos \widehat {CAD}} \right) = 0\end{array}\)
\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AM} \bot \overrightarrow {DE} \) \( \Rightarrow \) \(AM \bot DE\)
b) Ta có: \(\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} \)
\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {BE} .\overrightarrow {CD} = \left( {\overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AB} } \right)\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right)\)
\(\begin{array}{l} = \overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \\ = \overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \\ = AE.AD.\cos \widehat {DAE} + AB.AC.\cos \widehat {BAC}\\ = AE.AD.\cos \widehat {DAE} + AB.AC.\cos \left( {{{180}^ \circ } - \widehat {DAE}} \right) = 0\end{array}\)
\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {BE} \bot \overrightarrow {CD} \) \( \Rightarrow \) \(BE \bot CD\)
c) Ta có: \(MN\) và \(MP\) lần lượt là đường trung bình của \(\Delta BCD\) và \(\Delta ACE\)
\( \Rightarrow \) \(MN\)//\(CD\) và \(MP\)//\(BE\)
mặt khác \(CD \bot BE\) (cm câu b)
\( \Rightarrow \) \(MN \bot MP\)
\( \Rightarrow \) \(\Delta MNP\) vuông tại \(M\)
+
Xét \(\Delta ADC\) và \(\Delta ABE\) ta có:
\(AD = AB\)
\(AC = AE\)
\(\widehat {DAC} = \widehat {BAE} = {90^o} + \widehat {BAC}\)
\( \Rightarrow \Delta ADC = \Delta ABE\) (cạnh góc cạnh)
\( \Rightarrow DC = BE\)
Lại có: \(MN = \frac{1}{2}DC\) (do M, N là trung điểm BD, BC)
\(MP = \frac{1}{2}BE\) (do M, N là trung điểm CB, CE)
\( \Rightarrow MN = MP\)
Vậy tam giác MNP vuông cân tại M.
- Tính các vectơ \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {DE} \) xong chứng minh tích vô hướng \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {DE} = 0\)
- Tính các vectơ \(\overrightarrow {BE} \) và \(\overrightarrow {CD} \) xong chứng minh tích vô hướng \(\overrightarrow {BE} .\overrightarrow {CD} = 0\)
- Chứng minh \(MN\)//\(CD\) và \(MP\)//\(BE\)
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(\overrightarrow {DE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {DE} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AD} } \right)\)
\(\begin{array}{l} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} } \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} } \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {AB.AE.\cos \widehat {BAE} - AC.AD.\cos \widehat {CAD}} \right) = 0\end{array}\)
\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AM} \bot \overrightarrow {DE} \) \( \Rightarrow \) \(AM \bot DE\)
b) Ta có: \(\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} \)
\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {BE} .\overrightarrow {CD} = \left( {\overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AB} } \right)\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right)\)
\(\begin{array}{l} = \overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \\ = \overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \\ = AE.AD.\cos \widehat {DAE} + AB.AC.\cos \widehat {BAC}\\ = AE.AD.\cos \widehat {DAE} + AB.AC.\cos \left( {{{180}^ \circ } - \widehat {DAE}} \right) = 0\end{array}\)
\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {BE} \bot \overrightarrow {CD} \) \( \Rightarrow \) \(BE \bot CD\)
c) Ta có: \(MN\) và \(MP\) lần lượt là đường trung bình của \(\Delta BCD\) và \(\Delta ACE\)
\( \Rightarrow \) \(MN\)//\(CD\) và \(MP\)//\(BE\)
mặt khác \(CD \bot BE\) (cm câu b)
\( \Rightarrow \) \(MN \bot MP\)
\( \Rightarrow \) \(\Delta MNP\) vuông tại \(M\)
+
Xét \(\Delta ADC\) và \(\Delta ABE\) ta có:
\(AD = AB\)
\(AC = AE\)
\(\widehat {DAC} = \widehat {BAE} = {90^o} + \widehat {BAC}\)
\( \Rightarrow \Delta ADC = \Delta ABE\) (cạnh góc cạnh)
\( \Rightarrow DC = BE\)
Lại có: \(MN = \frac{1}{2}DC\) (do M, N là trung điểm BD, BC)
\(MP = \frac{1}{2}BE\) (do M, N là trung điểm CB, CE)
\( \Rightarrow MN = MP\)
Vậy tam giác MNP vuông cân tại M.