Google
Câu hỏi: Cho tứ giác \(ABCD\). Với số \(k\) tùy ý, lấy các điểm \(M\) và \(N\) sao cho \(\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AB} ; \overrightarrow {DN} = k\overrightarrow {DC} \). Tìm tập hợp các trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(MN\) khi \(k\) thay đổi.
Lời giải chi tiết
Gọi \(O, O’\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC\), ta có
\(\overrightarrow {OO'} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC}).\)
Vì \(O\) và \(I\) là trung điểm của \(AD\) và \(MN\) nên
\(\overrightarrow {OI} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {DN}) \)
\(= \dfrac{k}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC})\)\( = k\overrightarrow {OO'} \).
Do đó O, O', I thẳng hàng.
Vậy khi \(k\) thay đổi, tập hợp các điểm \(I\) là đường thẳng \(OO’\).
Gọi \(O, O’\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC\), ta có
\(\overrightarrow {OO'} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC}).\)
Vì \(O\) và \(I\) là trung điểm của \(AD\) và \(MN\) nên
\(\overrightarrow {OI} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {DN}) \)
\(= \dfrac{k}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC})\)\( = k\overrightarrow {OO'} \).
Do đó O, O', I thẳng hàng.
Vậy khi \(k\) thay đổi, tập hợp các điểm \(I\) là đường thẳng \(OO’\).