Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\) và ba vec tơ cố định \(\overrightarrow u , \overrightarrow v , \overrightarrow w \). Với mỗi số thực \(t\), ta lấy các điểm \(A’, B’, C’\) sao cho \(\overrightarrow {AA'} = t\overrightarrow u ; \overrightarrow {BB'} = t\overrightarrow v ; \overrightarrow {CC'} = t\overrightarrow w \). Tìm quỹ tích trọng tâm \(G’\) của hai tam giác \(A’B’C’\) khi \(t\) thay đổi.
Lời giải chi tiết
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) thì
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) thì
\(\begin{array}{l}3\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GA'} + \overrightarrow {GB'} + \overrightarrow {GC'}\\ = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CC'} \\ = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} \\ = t\overrightarrow u + t\overrightarrow v + t\overrightarrow w = t(\overrightarrow u + \overrightarrow v + \overrightarrow w).\end{array}\)
Đặt \(\overrightarrow \alpha = \overrightarrow u + \overrightarrow v + \overrightarrow w \) thì vec tơ \(\overrightarrow \alpha \) cố định và \(\overrightarrow {GG'} = \dfrac{1}{3}t\overrightarrow \alpha \).
Suy ra nếu \(\overrightarrow \alpha = \overrightarrow 0 \) thì các điểm \(G’\) trùng với điểm \(G\), còn nếu \(\overrightarrow \alpha \ne \overrightarrow 0 \) thì quỹ tích các điểm \(G’\) là đường thẳng đi qua \(G\) và song song với giá của vec tơ \(\overrightarrow \alpha \).
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) thì
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) thì
\(\begin{array}{l}3\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GA'} + \overrightarrow {GB'} + \overrightarrow {GC'}\\ = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CC'} \\ = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} \\ = t\overrightarrow u + t\overrightarrow v + t\overrightarrow w = t(\overrightarrow u + \overrightarrow v + \overrightarrow w).\end{array}\)
Đặt \(\overrightarrow \alpha = \overrightarrow u + \overrightarrow v + \overrightarrow w \) thì vec tơ \(\overrightarrow \alpha \) cố định và \(\overrightarrow {GG'} = \dfrac{1}{3}t\overrightarrow \alpha \).
Suy ra nếu \(\overrightarrow \alpha = \overrightarrow 0 \) thì các điểm \(G’\) trùng với điểm \(G\), còn nếu \(\overrightarrow \alpha \ne \overrightarrow 0 \) thì quỹ tích các điểm \(G’\) là đường thẳng đi qua \(G\) và song song với giá của vec tơ \(\overrightarrow \alpha \).