Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng hai vec tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương khi và chỉ khi có cặp số \(m, n\) không đồng thời bằng 0 sao cho \(m\overrightarrow a + n\overrightarrow b = \overrightarrow 0 \).
Hãy phát biểu điều kiện cần và đủ để hai vec tơ không cùng phương.
Hãy phát biểu điều kiện cần và đủ để hai vec tơ không cùng phương.
Lời giải chi tiết
Nếu \(\overrightarrow a = - \dfrac{n}{m}\overrightarrow b \), suy ra \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b\) cùng phương.
Ngược lại, giả sử \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương.
Nếu \(\overrightarrow a = \overrightarrow 0 \) thì có thể viết \(m\overrightarrow a + 0\overrightarrow b = \overrightarrow 0 \) với \(m \ne 0\).
Nếu \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) thì có số m sao cho \(\overrightarrow b = m\overrightarrow a \) tức \(m\overrightarrow a + n\overrightarrow b = \overrightarrow 0 \), trong đó \(n = - 1 \ne 0\).
Vậy điều kiện cần và đủ để \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương là cặp số m, n không đồng thời bằng 0 sao cho \(m\overrightarrow a + n\overrightarrow b = \overrightarrow 0 \).
Từ đó suy ra: điều kiện cần và đủ để \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương là nếu \(m\overrightarrow a + n\overrightarrow b = \overrightarrow 0 \) thì \(m = n = 0\).
Nếu \(\overrightarrow a = - \dfrac{n}{m}\overrightarrow b \), suy ra \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b\) cùng phương.
Ngược lại, giả sử \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương.
Nếu \(\overrightarrow a = \overrightarrow 0 \) thì có thể viết \(m\overrightarrow a + 0\overrightarrow b = \overrightarrow 0 \) với \(m \ne 0\).
Nếu \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) thì có số m sao cho \(\overrightarrow b = m\overrightarrow a \) tức \(m\overrightarrow a + n\overrightarrow b = \overrightarrow 0 \), trong đó \(n = - 1 \ne 0\).
Vậy điều kiện cần và đủ để \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương là cặp số m, n không đồng thời bằng 0 sao cho \(m\overrightarrow a + n\overrightarrow b = \overrightarrow 0 \).
Từ đó suy ra: điều kiện cần và đủ để \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương là nếu \(m\overrightarrow a + n\overrightarrow b = \overrightarrow 0 \) thì \(m = n = 0\).