Google
Câu hỏi: Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của đoạn AM. Chứng minh rằng:
a) \(2\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0 \)
b) \(2\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow {OD} \) với O là điểm tùy ý
a) \(2\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0 \)
b) \(2\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow {OD} \) với O là điểm tùy ý
Phương pháp giải
Sử dụng tính chất trung điểm \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \) với I là trung điểm của AB
Lời giải chi tiết
a) AM là trung tuyến của tam giác ABC, suy ra M là trung điểm của BC
\(2\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} = 2\overrightarrow {DA} + \left( {\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} } \right) \\= 2\overrightarrow {DA} + 2\overrightarrow {DM} = 2\left( {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DM} } \right) = \overrightarrow 0 \)
(D là trung điểm của AM nên \(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DM} = \overrightarrow 0 \))
b)
\(\begin{array}{l}2\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {OA} + \left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right) = 2\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OM} \\ = 2\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OM} } \right) = 2.2\overrightarrow {OD} = 4\overrightarrow {OD} \end{array}\)
Sử dụng tính chất trung điểm \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \) với I là trung điểm của AB
Lời giải chi tiết
a) AM là trung tuyến của tam giác ABC, suy ra M là trung điểm của BC
\(2\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} = 2\overrightarrow {DA} + \left( {\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} } \right) \\= 2\overrightarrow {DA} + 2\overrightarrow {DM} = 2\left( {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DM} } \right) = \overrightarrow 0 \)
(D là trung điểm của AM nên \(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DM} = \overrightarrow 0 \))
b)
\(\begin{array}{l}2\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {OA} + \left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right) = 2\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OM} \\ = 2\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OM} } \right) = 2.2\overrightarrow {OD} = 4\overrightarrow {OD} \end{array}\)