Google
Câu hỏi: Tính góc giữa hai đường thẳng:
a) \({\Delta _1}:\sqrt 3 x + y - 4 = 0\) và\({\Delta _2}:x + \sqrt 3 y + 3 = 0\)
b) \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 3 + 4t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + s\\y = 1 - 3s\end{array} \right.\)
a) \({\Delta _1}:\sqrt 3 x + y - 4 = 0\) và\({\Delta _2}:x + \sqrt 3 y + 3 = 0\)
b) \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 3 + 4t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + s\\y = 1 - 3s\end{array} \right.\)
Phương pháp giải
Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0, {\Delta _2}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\)
Bước 1: Xác định VTPT \(\overrightarrow {{n_1}} ({a_1},{b_1})\) và \(\overrightarrow {{n_2}} ({a_2},{b_2})\) (hoặc 2 VTCP) tương ứng.
Bước 2: Tính \(\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} .\sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}\)
Từ đó suy ra \(\varphi \), là góc giữa hai đường thẳng
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {\sqrt 3 ;1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;\sqrt 3 } \right)\)
Suy ra: \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\sqrt 3 .1 + 1.\sqrt 3 } \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = {30^o}\)
b) Ta có: \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;4} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1; - 3} \right)\)
Suy ra: \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + 4.\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = {45^o}\)
Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0, {\Delta _2}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\)
Bước 1: Xác định VTPT \(\overrightarrow {{n_1}} ({a_1},{b_1})\) và \(\overrightarrow {{n_2}} ({a_2},{b_2})\) (hoặc 2 VTCP) tương ứng.
Bước 2: Tính \(\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} .\sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}\)
Từ đó suy ra \(\varphi \), là góc giữa hai đường thẳng
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {\sqrt 3 ;1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;\sqrt 3 } \right)\)
Suy ra: \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\sqrt 3 .1 + 1.\sqrt 3 } \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = {30^o}\)
b) Ta có: \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;4} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1; - 3} \right)\)
Suy ra: \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + 4.\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = {45^o}\)