Google
Câu hỏi: Đường tròn đi qua ba điểm \(A(0; 2); B(-2; 0)\) và \(C(2; 0)\) có phương trình là:
A. \(x^2+ y^2 =8\)
B. \(x^2+ y^2+ 2x + 4 = 0\)
C. \(x^2+ y^2- 2x - 8 = 0\)
D. \(x^2+ y^2- 4 = 0\)
A. \(x^2+ y^2 =8\)
B. \(x^2+ y^2+ 2x + 4 = 0\)
C. \(x^2+ y^2- 2x - 8 = 0\)
D. \(x^2+ y^2- 4 = 0\)
Lời giải chi tiết
Gọi phương trình đường tròn cần tìm \((C) : x^2+ y^2– 2ax – 2by + c = 0\) với \(a^2+b^2-c> 0\).
\(A\left( {0; 2} \right) \in \left(C \right) \) \(\Leftrightarrow {0^2} + {2^2} - 2a. 0 - 2b. 2 + c = 0 \) \(\Leftrightarrow 4 - 4b + c = 0\)
\(B\left( {-1; 0} \right) \in \left(C \right) \) \(\Leftrightarrow {(-2)^2} + {0^2} - 2a.(-2) - 2b. 0 + c = 0 \) \(\Leftrightarrow 4 + 4a + c = 0\)
\(C\left( {2; 0} \right) \in \left(C \right) \) \(\Leftrightarrow {2^2} + {0^2} - 2a. 2 - 2b. 0 + c = 0 \) \(\Leftrightarrow 4 - 4a + c = 0\)
Ta có hệ:
\(\left\{ \matrix{
4 - 4b + c = 0 \hfill \cr
4 + 4a + c = 0 \hfill \cr
4 - 4a + c = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = 0 \hfill \cr
b = 0 \hfill \cr
c = - 4 \hfill \cr} \right.\)
Vậy phương trình đường tròn \((C)\) là: \(x^2+ y^2- 4 = 0\)
Do đó chọn D.
Cách khác:
Dễ thấy:
\(\begin{array}{l}
x_A^2 + y_A^2 = {0^2} + {2^2} = 4\\
x_B^2 + y_B^2 = {\left({ - 2} \right)^2} + {0^2} = 4\\
x_C^2 + y_C^2 = {2^2} + {0^2} = 4
\end{array}\)
Nên ba điểm \(A, B, C\) cùng thuộc đường tròn có phương trình:
\({x^2} + {y^2} = 4 \) \(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4 = 0\)
Cách 2:
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 2} \right),\overrightarrow {AC} = \left({2; - 2} \right)\)
\(\Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left( { - 2} \right). 2 + \left({ - 2} \right).\left({ - 2} \right) = 0 \)
\(\Rightarrow AB \bot AC\) hay tam giác ABC vuông tại A.
Khi đó đường tròn đi qua ba điểm A, B, C là đường tròn đường kính BC.
\(B\left( { - 2; 0} \right), C\left({2; 0} \right) \Rightarrow O\left({0; 0} \right)\) là trung điểm BC.
\(BC = \sqrt {{{\left( {2 + 2} \right)}^2} + {{\left({0 - 0} \right)}^2}} = 4\)
\(\Rightarrow R = \dfrac{{BC}}{2} = 2\)
Đường tròn (C) có tâm O(0; 0) bán kính R=2 nên:
(C):\({x^2} + {y^2} = 4 \) \(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4 = 0\)
Gọi phương trình đường tròn cần tìm \((C) : x^2+ y^2– 2ax – 2by + c = 0\) với \(a^2+b^2-c> 0\).
\(A\left( {0; 2} \right) \in \left(C \right) \) \(\Leftrightarrow {0^2} + {2^2} - 2a. 0 - 2b. 2 + c = 0 \) \(\Leftrightarrow 4 - 4b + c = 0\)
\(B\left( {-1; 0} \right) \in \left(C \right) \) \(\Leftrightarrow {(-2)^2} + {0^2} - 2a.(-2) - 2b. 0 + c = 0 \) \(\Leftrightarrow 4 + 4a + c = 0\)
\(C\left( {2; 0} \right) \in \left(C \right) \) \(\Leftrightarrow {2^2} + {0^2} - 2a. 2 - 2b. 0 + c = 0 \) \(\Leftrightarrow 4 - 4a + c = 0\)
Ta có hệ:
\(\left\{ \matrix{
4 - 4b + c = 0 \hfill \cr
4 + 4a + c = 0 \hfill \cr
4 - 4a + c = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = 0 \hfill \cr
b = 0 \hfill \cr
c = - 4 \hfill \cr} \right.\)
Vậy phương trình đường tròn \((C)\) là: \(x^2+ y^2- 4 = 0\)
Do đó chọn D.
Cách khác:
Dễ thấy:
\(\begin{array}{l}
x_A^2 + y_A^2 = {0^2} + {2^2} = 4\\
x_B^2 + y_B^2 = {\left({ - 2} \right)^2} + {0^2} = 4\\
x_C^2 + y_C^2 = {2^2} + {0^2} = 4
\end{array}\)
Nên ba điểm \(A, B, C\) cùng thuộc đường tròn có phương trình:
\({x^2} + {y^2} = 4 \) \(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4 = 0\)
Cách 2:
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 2} \right),\overrightarrow {AC} = \left({2; - 2} \right)\)
\(\Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left( { - 2} \right). 2 + \left({ - 2} \right).\left({ - 2} \right) = 0 \)
\(\Rightarrow AB \bot AC\) hay tam giác ABC vuông tại A.
Khi đó đường tròn đi qua ba điểm A, B, C là đường tròn đường kính BC.
\(B\left( { - 2; 0} \right), C\left({2; 0} \right) \Rightarrow O\left({0; 0} \right)\) là trung điểm BC.
\(BC = \sqrt {{{\left( {2 + 2} \right)}^2} + {{\left({0 - 0} \right)}^2}} = 4\)
\(\Rightarrow R = \dfrac{{BC}}{2} = 2\)
Đường tròn (C) có tâm O(0; 0) bán kính R=2 nên:
(C):\({x^2} + {y^2} = 4 \) \(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4 = 0\)
Đáp án D.