Bài 4 trang 93 SGK Hình học 10

Câu hỏi: Cho đường thẳng \(Δ: x – y + 2=0\) và hai điểm \(O(0; 0); A(2; 0).\)

Câu a​

Tìm điểm đối xứng của \(O\) qua \(Δ\)
Lời giải chi tiết:
Gọi \(H(x; y)\) là hình chiếu của \(O\) trên \(Δ\), \(\overrightarrow {OH} = (x; y)\)
\(Δ: x – y + 2 = 0\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u (1; 1)\)
\(\overrightarrow {OH} \bot \Delta \) \(\Rightarrow 1. X + 1. Y = 0 \Leftrightarrow x + y = 0\)
Tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \matrix{
x + y = 0 \hfill \cr
x - y + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H(- 1; 1)\)
Gọi \(O’\) là đỉnh đối xứng của \(O\) qua \(Δ\) thì \(H\) là trung điểm của đoạn thẳng \(OO’\)
\(\eqalign{
& {x_H} = {{{x_O} + {x_{O'}}} \over 2} \Leftrightarrow - 1 = {{0 + {x_{O'}}} \over 2} \cr&\Rightarrow {x_{O'}} = - 2 \cr
& {y_H} = {{{y_O} + {y_{O'}}} \over 2} \Leftrightarrow - 1 = {{0 + {y_{O'}}} \over 2}\cr& \Rightarrow {y_{O'}} = 2 \cr} \)
Vậy \(O’(-2; 2)\).
Cách khác:
Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(O\) và vuông góc \(\Delta \).
\(\Delta \) nhận \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1} \right)\) làm VTPT nên nhận \(\overrightarrow u = \left( {1; 1} \right)\) làm VTCP.
\(d \bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow {{n_d}} = \overrightarrow u = \left( {1; 1} \right)\) là VTPT của \(d\).
Mà \(d\) đi qua \(O\left( {0; 0} \right)\) nên \(1\left( {x - 0} \right) + 1\left({y - 0} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow x + y = 0\)
Gọi \(H = d \cap \Delta \) thì tọa độ điểm \(H\) thỏa mãn:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\x - y + 2 = 0\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\end{array} \right.\) \(\Rightarrow H\left( { - 1; 1} \right)\)
\(O'\) đối xứng \(O\) qua \(\Delta \) hay \(H\) là trung điểm \(OO'\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{O'}} = 2{x_H} - {x_O} = 2.\left( { - 1} \right) - 0 = - 2\\{y_{O'}} = 2{y_H} - {y_O} = 2.1 - 0 = 2\end{array} \right.\)
\(\Rightarrow O'\left( { - 2; 2} \right)\).

Câu b​

Tìm điểm \(M\) trên \(Δ\) sao cho độ dài đường gấp khúc \(OMA\) ngắn nhất.
Lời giải chi tiết:

Quan sát hình vẽ ta thấy,
\(A\) và \(O\) nằm cùng phía so với \(\Delta \) hay \(A, O'\) nằm khác phía so với \(\Delta \).
Gọi \(M' = AO' \cap \Delta \) thì \(OM' = O'M'\) do \(\Delta \) là đường trung trực của \(OO'\).
Với điểm \(M\) bất kì thuộc \(\Delta \) thì \(OM + AM = O'M + AM \ge O'A\)
\(\Rightarrow {\left( {OM + MA} \right)_{\min }} = AO'\) khi \(M \equiv M'\) là giao điểm của \(AO'\) với \(\Delta \).
\(A(2; 0); O'(-2; 2)\) \(\Rightarrow \overrightarrow {AO'} = \left( { - 4; 2} \right)\) là VTCP của \(AO'\) \(\Rightarrow \overrightarrow {{n_{AO'}}} = \left( {2; 4} \right)\) là VTPT của \(AO'\)
Mà \(AO'\) đi qua \(A\left( {2; 0} \right)\) nên \(2\left( {x - 2} \right) + 4\left({y - 0} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow 2x + 4y - 4 = 0\) \(\Leftrightarrow x + 2y - 2 = 0\)
\(M = AO' \cap \Delta \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 2 = 0\\x - y + 2 = 0\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac{2}{3}\\y = \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\)
Vậy \(M\left( { - \dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3}} \right)\)