Bài 5 trang 93 SGK Hình học 10

Câu hỏi: Cho ba điểm \(A(4; 3), B(2; 7), C(-3; -8)\)

Câu a​

Tìm tọa độ điểm \(G\) , trực tâm \(H\) của tam giác \(ABC\).
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức trọng tâm tìm \(G\).
Sử dụng tính chất \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\) và \(\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\) tìm tọa độ điểm \(H\).
Lời giải chi tiết:
Gọi \(G(x_G; y_G)\) là trọng tâm tam giác \(\Delta ABC.\) Khi đó ta có:
\(\eqalign{
& {x_G} = {{{x_A} + {x_B} + {x_C}} \over 3}\cr& \Rightarrow {x_G} = {{4 + 2 - 3} \over 3} = 1 \cr 
& {y_G} = {{{y_A} + {y_B} + {y_C}} \over 3}\cr& \Rightarrow {y_G} = {{3 + 7 - 8} \over 3} = {2 \over 3} \cr} \)
Vậy \(G\left(1; {2 \over 3}\right)\)
Gọi \((x; y)\) là tọa độ của \(H\)
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AH} = (x - 4; y - 3);\cr&\overrightarrow {BC} = (- 5;   - 15) \cr 
& \overrightarrow {BH} = (x - 2; y - 7);\cr&\overrightarrow {AC} = (- 7; - 11) \cr 
& \overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow {BC}\cr& \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \cr 
& \Leftrightarrow - 5(x - 4) - 15(y - 3) = 0 \cr&\Leftrightarrow x + 3y - 13 = 0 \cr 
& \overrightarrow {BH} \bot \overrightarrow {AC} \cr&\Leftrightarrow \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0 \cr 
& \Leftrightarrow - 7(x - 2) - 11(y - 7) = 0 \cr&\Leftrightarrow 7x + 11y - 91 = 0 \cr} \)
Tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \matrix{
x +3 y - 13 = 0 \hfill \cr 
7x + 11y - 91 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H(13; 0)\)
Cách khác:
Ta có: \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 5; - 15} \right)\)
\(AH \bot BC\) nên \(AH\) nhận \(\overrightarrow {{n_1}}  =  - \dfrac{1}{5}\overrightarrow {BC}  = \left( {1; 3} \right)\) làm VTPT.
Mà \(AH\) đi qua \(A\left( {4; 3} \right)\) nên \(1\left( {x - 4} \right) + 3\left({y - 3} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow x + 3y - 13 = 0\)
\(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 7; - 11} \right)\)
\(BH \bot AC\) nên \(BH\) nhận \(\overrightarrow {{n_2}}  =  - \overrightarrow {AC}  = \left( {7; 11} \right)\) làm VTPT.
Mà \(BH\) đi qua \(B\left( {2; 7} \right)\) nên \(7\left( {x - 2} \right) + 11\left({y - 7} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow 7x + 11y - 91 = 0\)
\(H = AH \cap BH\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 13 = 0\\7x + 11y - 91 = 0\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 13\\y = 0\end{array} \right.\) \(\Rightarrow H\left( {13; 0} \right)\) .

Câu b​

Tìm \(T\) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Chứng minh \(T, G, H\) thẳng hàng.
Phương pháp giải:
\(T\) là tâm đường tròn ngoại tiếp thì \(TA=TB=TC\).
Lời giải chi tiết:
Tâm \(T\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) thỏa mãn điều kiện
\(TA = TB = TC \)\(⇒ TA^2= TB^2= TC^2\)
\(⇒ {\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right)^2} +{\left({y-3} \right)^2} \)\(= {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2} + {\left({y{\rm{ }}-{\rm{ }}7} \right)^2}\)
\(\Leftrightarrow {x^2} - 8x + 16 + {y^2} - 6y + 9\) \(= {x^2} - 4x + 4 + {y^2} - 14y + 49\)
\(\Leftrightarrow  - 4x + 8y - 28 = 0\)
\(\Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}7 =0\)
\({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right)^2} +{\left({y-3} \right)^2} \)\(= {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)^2} + {\rm{ }}{\left({y +8} \right)^2}\)
\(\Leftrightarrow {x^2} - 8x + 16 + {y^2} - 6y + 9 \) \(= {x^2} + 6x + 9 + {y^2} + 16y + 64\)
\(\Leftrightarrow  - 14x - 22y - 48 = 0\)
\(\Leftrightarrow {\rm{ }}7x{\rm{ }} + 11y +24 = 0\)
Do đó tọa độ tâm \(T\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là nghiệm của hệ:
\(\left\{ \matrix{
x - 2y + 7 = 0 \hfill \cr 
7x + 11y + 24 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow T(- 5; 1)\)
Ta có: \(\overrightarrow {TH}  = ( 18;-1);\overrightarrow {TG}  = \left({6; - \dfrac{1}{3}} \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow {TH}  = {3}\overrightarrow {TG} \)
Vậy ba điểm \(H, G, T\) thẳng hàng.

Câu c​

Sử dụng công thức phương trình đường tròn biết tâm và bán kính.
Lời giải chi tiết:
Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) có tâm \(T(-5; 1)\), bán kính \(R = AT\)
\({R^2} = A{T^2} = {\left( { - 5-{\rm{ }}4} \right)^2} + {\rm{ }}{\left({1-3} \right)^2} \)\(= 85\)
Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là:
\((x + 5)^2+ (y – 1)^2= 85\)