Google
Câu hỏi: Tìm góc giữa hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) trong các trường hợp sau:
Phương pháp giải:
Cho hai đường thẳng
\({\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {{a_1};{b_1}} \right)\);
\({\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {{a_2};{b_2}} \right)\).
Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).
Khi đó
\(\cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}.} \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} \) \(= \dfrac{{\left| {{a_1}.{a_2} + {b_1}.{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}\)
Lời giải chi tiết:
Vecto pháp tuyến \(\Delta_1\) là \(\overrightarrow {{n_1}} = (2; 1)\)
Vecto pháp tuyến \({\Delta _2}\) là \(\overrightarrow {{n_2}} = (5; - 2)\)
\(\eqalign{
& \cos ({\Delta _1},{\Delta _2}) = {{|\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} |} \over {|\overrightarrow {{n_1}} |.|\overrightarrow {{n_2}} |}} \cr&= {{|2.5 + 1.(- 2)|} \over {\sqrt {2^2+1^2} .\sqrt {5^2+(-2)^2} }}\cr& = {8 \over {\sqrt {145} }} \cr
& \Rightarrow ({\Delta _1},{\Delta _2}) \approx {48^0}21'59'' \cr} \)
Lời giải chi tiết:
\(y = -2x + 4 ⇔ 2x + y – 4 = 0\)
\(y = {1 \over 2}x + {3 \over 2} \Leftrightarrow x - 2y + 3 = 0\)
\({\Delta _1}\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; 1} \right)\)
\({\Delta _2}\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;-2} \right)\)
\(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) \) \(= \dfrac{{\left| {2.1 + 1.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left({ - 2} \right)}^2}} }} = 0\) \(\Rightarrow \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = {90^0} \Rightarrow {\Delta _1} \bot {\Delta _2}\)
Cách khác:
- Hệ số góc của \(\Delta_1\) là \(k = -2\)
- Hệ số góc của \({\Delta _2}\) là \(k' = {1 \over 2}\)
Vì \(k. K' = 2.{1 \over 2} = - 1 \Rightarrow {\Delta _1} \bot {\Delta _2}\)
Hoặc
Vì \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 2.1 + 1.\left( { - 2} \right) = 0\) nên \(\overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \)
Vậy \({\Delta _1} \bot {\Delta _2}\) hay góc giữa chúng bằng \(90^0\).
Câu a
\(\Delta_1\): \(2x + y – 4 = 0\) ; \(\Delta_2\): \(5x – 2y + 3 = 0.\)Phương pháp giải:
Cho hai đường thẳng
\({\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {{a_1};{b_1}} \right)\);
\({\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {{a_2};{b_2}} \right)\).
Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).
Khi đó
\(\cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}.} \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} \) \(= \dfrac{{\left| {{a_1}.{a_2} + {b_1}.{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}\)
Lời giải chi tiết:
Vecto pháp tuyến \(\Delta_1\) là \(\overrightarrow {{n_1}} = (2; 1)\)
Vecto pháp tuyến \({\Delta _2}\) là \(\overrightarrow {{n_2}} = (5; - 2)\)
\(\eqalign{
& \cos ({\Delta _1},{\Delta _2}) = {{|\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} |} \over {|\overrightarrow {{n_1}} |.|\overrightarrow {{n_2}} |}} \cr&= {{|2.5 + 1.(- 2)|} \over {\sqrt {2^2+1^2} .\sqrt {5^2+(-2)^2} }}\cr& = {8 \over {\sqrt {145} }} \cr
& \Rightarrow ({\Delta _1},{\Delta _2}) \approx {48^0}21'59'' \cr} \)
Câu b
\(\Delta_1\): \(y = -2x + 4\); \({\Delta _2}:y = {1 \over 2}x + {3 \over 2}.\)Lời giải chi tiết:
\(y = -2x + 4 ⇔ 2x + y – 4 = 0\)
\(y = {1 \over 2}x + {3 \over 2} \Leftrightarrow x - 2y + 3 = 0\)
\({\Delta _1}\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; 1} \right)\)
\({\Delta _2}\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;-2} \right)\)
\(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) \) \(= \dfrac{{\left| {2.1 + 1.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left({ - 2} \right)}^2}} }} = 0\) \(\Rightarrow \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = {90^0} \Rightarrow {\Delta _1} \bot {\Delta _2}\)
Cách khác:
- Hệ số góc của \(\Delta_1\) là \(k = -2\)
- Hệ số góc của \({\Delta _2}\) là \(k' = {1 \over 2}\)
Vì \(k. K' = 2.{1 \over 2} = - 1 \Rightarrow {\Delta _1} \bot {\Delta _2}\)
Hoặc
Vì \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 2.1 + 1.\left( { - 2} \right) = 0\) nên \(\overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \)
Vậy \({\Delta _1} \bot {\Delta _2}\) hay góc giữa chúng bằng \(90^0\).
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!