Google
Câu hỏi: Cho hai đường tròn \((O; R)\) và \(({O'} ; {R'})\) cắt nhau tại hai điểm A và B. Trên đường thẳng AB, lấy điểm C ở ngoài hai đường tròn và kẻ hai tiếp tuyến CE, CF đến hai đường tròn đó (E, F là các tiếp điểm). Chứng minh rằng CE = CF.
Lời giải chi tiết
Ta có
\(\eqalign{
& {\wp _{{C_{/(O)}}}} = \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = C{E^2} \cr
& {\wp _{{C_{/({O '})}}}} = \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = C{F^2} \cr
& \Rightarrow CE = CF \cr} \)
Chú ý:
Hai công thức ở trên là sử dụng công thức trang 50 SGK Hình học 10 nâng cao. Các em cũng có thể chứng minh chi tiết như sau:
Áp dụng công thức phương tích của điểm C với hai đường tròn ta có:
${P_{C/(O)}} = \overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB} = C{O^2} - {R^2}$ (1)
Và ${P_{C/({O^\prime })}} = \overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB} = C{O^{\prime 2}} - {R^{\prime 2}}$ (2)
*Do CE là tiếp tuyến của (O) nên tam giác CEO vuông tại E.
Do đó, $\mathrm{CO}^{2}-\mathrm{R}^{2}=\mathrm{CO}^{2}-\mathrm{OE}^{2}=\mathrm{CE}^{2}$ (3)
Từ (1) và (3) suy ra: $P_{C /(O)}=\overrightarrow{C A} \cdot \overrightarrow{C B}=C E^{2}$ (*)
* Do CF là tiếp tuyến của (O’) nên tam giác CFO’ vuông tại F.
Do đó, $\mathrm{CO}^{\prime 2}-\mathrm{R}^{\prime 2}=\mathrm{CO}^{\prime 2}-\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{F}^{2}=\mathrm{CF}^{2}$ (4)
Từ (2) và (4) suy ra: ${P_{C/({O^\prime })}}=\overrightarrow{C A} \cdot \overrightarrow{C B}=C F^{2}$ (**)
Từ (*) và (**) suy ra: $C E^{2}=C F^{2}(=\overrightarrow{C A} \cdot \overrightarrow{C B}) \Rightarrow C E=C F$
Ta có
\(\eqalign{
& {\wp _{{C_{/(O)}}}} = \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = C{E^2} \cr
& {\wp _{{C_{/({O '})}}}} = \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = C{F^2} \cr
& \Rightarrow CE = CF \cr} \)
Chú ý:
Hai công thức ở trên là sử dụng công thức trang 50 SGK Hình học 10 nâng cao. Các em cũng có thể chứng minh chi tiết như sau:
Áp dụng công thức phương tích của điểm C với hai đường tròn ta có:
${P_{C/(O)}} = \overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB} = C{O^2} - {R^2}$ (1)
Và ${P_{C/({O^\prime })}} = \overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB} = C{O^{\prime 2}} - {R^{\prime 2}}$ (2)
*Do CE là tiếp tuyến của (O) nên tam giác CEO vuông tại E.
Do đó, $\mathrm{CO}^{2}-\mathrm{R}^{2}=\mathrm{CO}^{2}-\mathrm{OE}^{2}=\mathrm{CE}^{2}$ (3)
Từ (1) và (3) suy ra: $P_{C /(O)}=\overrightarrow{C A} \cdot \overrightarrow{C B}=C E^{2}$ (*)
* Do CF là tiếp tuyến của (O’) nên tam giác CFO’ vuông tại F.
Do đó, $\mathrm{CO}^{\prime 2}-\mathrm{R}^{\prime 2}=\mathrm{CO}^{\prime 2}-\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{F}^{2}=\mathrm{CF}^{2}$ (4)
Từ (2) và (4) suy ra: ${P_{C/({O^\prime })}}=\overrightarrow{C A} \cdot \overrightarrow{C B}=C F^{2}$ (**)
Từ (*) và (**) suy ra: $C E^{2}=C F^{2}(=\overrightarrow{C A} \cdot \overrightarrow{C B}) \Rightarrow C E=C F$