Google
Câu hỏi: Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).
\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có
\(\eqalign{
& M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} \cr&= {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2} \cr
&= {(\overrightarrow {GA} - \overrightarrow {GM})^2} + {(\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GM})^2} + {(\overrightarrow {GC} - \overrightarrow {GM})^2} \cr
& = {\overrightarrow {GA} ^2} - 2\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GM} + {\overrightarrow {GM} ^2} \cr&+ {\overrightarrow {GB} ^2} - 2\overrightarrow {GB} .\overrightarrow {GM} + {\overrightarrow {GM} ^2} \cr&+ {\overrightarrow {GC} ^2} - 2\overrightarrow {GC} .\overrightarrow {GM} + {\overrightarrow {GM} ^2}\cr&= {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2} + 3{\overrightarrow {GM} ^2}\cr& - 2\overrightarrow {GM} (\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC}) \cr
&= 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} \cr} \)
Lời giải chi tiết:
Áp dụng câu a), ta có
\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {k^2}\)
\(\Leftrightarrow 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} = {k^2}\)
\(\Leftrightarrow 3M{G^2} = {k^2} - (G{A^2} + G{B^2} + G{C^2})\)
\(\Leftrightarrow M{G^2} = \frac{{{k^2} - (G{A^2} + G{B^2} + G{C^2})}}{3}\)
+) Nếu \({k^2} > G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\) thì tập hợp các điểm \(M\) là đường tròn tâm \(G\) bán kính \(\sqrt {{1 \over 3}\left[ {{k^2} - (G{A^2} + G{B^2} + G{C^2})} \right]} \).
+) Nếu \({k^2} = G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\) thì tập hợp các điểm \(M\) chỉ gồm một phần tử là \(G\).
+) Nếu \({k^2} < G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\) thì tập hợp điểm \(M\) là tập rỗng.
Câu a
Chứng minh rằng với mọi điểm \(M\), ta luôn có\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có
\(\eqalign{
& M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} \cr&= {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2} \cr
&= {(\overrightarrow {GA} - \overrightarrow {GM})^2} + {(\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GM})^2} + {(\overrightarrow {GC} - \overrightarrow {GM})^2} \cr
& = {\overrightarrow {GA} ^2} - 2\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GM} + {\overrightarrow {GM} ^2} \cr&+ {\overrightarrow {GB} ^2} - 2\overrightarrow {GB} .\overrightarrow {GM} + {\overrightarrow {GM} ^2} \cr&+ {\overrightarrow {GC} ^2} - 2\overrightarrow {GC} .\overrightarrow {GM} + {\overrightarrow {GM} ^2}\cr&= {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2} + 3{\overrightarrow {GM} ^2}\cr& - 2\overrightarrow {GM} (\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC}) \cr
&= 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} \cr} \)
Câu b
Tìm tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {k^2}\), trong đó \(k\) là một số cho trước.Lời giải chi tiết:
Áp dụng câu a), ta có
\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {k^2}\)
\(\Leftrightarrow 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} = {k^2}\)
\(\Leftrightarrow 3M{G^2} = {k^2} - (G{A^2} + G{B^2} + G{C^2})\)
\(\Leftrightarrow M{G^2} = \frac{{{k^2} - (G{A^2} + G{B^2} + G{C^2})}}{3}\)
+) Nếu \({k^2} > G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\) thì tập hợp các điểm \(M\) là đường tròn tâm \(G\) bán kính \(\sqrt {{1 \over 3}\left[ {{k^2} - (G{A^2} + G{B^2} + G{C^2})} \right]} \).
+) Nếu \({k^2} = G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\) thì tập hợp các điểm \(M\) chỉ gồm một phần tử là \(G\).
+) Nếu \({k^2} < G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\) thì tập hợp điểm \(M\) là tập rỗng.
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!