Bài 4 trang 70 SGK Hình học 10 nâng cao

Câu hỏi: Trên hình 63 có vẽ hai tam giác vuông cân ABC và AB'C' có chung đỉnh A. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng BB' và CC'.

Chứng minh rằng

Câu a​

\(AI \bot C{C'} , AJ \bot B{B'} \)
Phương pháp giải:
Để chứng minh các đường thẳng vuông góc, ta thực hiện nhân vô hướng các véc tơ và kiểm tra tích đó bằng 0.
Lời giải chi tiết:
Vì I là trung điểm BB' và J là trung điểm CC' nên:
\(\overrightarrow {AI}  = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {A{B'}})\)
\(\overrightarrow {AJ}  = {1 \over 2}(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {A{C'}})\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow \overrightarrow {AI} . \overrightarrow {C{C'}} \cr&= {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{B'}}). (\overrightarrow {A{C'}} - \overrightarrow {AC}) \cr 
& = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} . \overrightarrow {A{C'}} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{B'}} . \overrightarrow {A{C'}} - \overrightarrow {A{B'}} . \overrightarrow {AC}) \cr} \)
Vì \(AB \bot AC, A{B'} \bot A{C'} \) nên \(\overrightarrow {AB} . \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {A{B'}} . \overrightarrow {A{C'}}  = 0\)
\(\Rightarrow \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {CC'}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC'}  - \overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {AC} } \right)\)
Mặt khác
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} . \overrightarrow {A{C'}} = AB. A{C'}.\cos \widehat {BA{C'}} \cr 
& \overrightarrow {A{B'}} . \overrightarrow {AC} = A{B'}. AC.\cos \widehat {{B'}AC} \cr} \)
Do ABC, AB’C’ vuông cân tại A nên AC’=AC, AB’=AB
Lại có:
\(\begin{array}{l}\widehat {BAC'} = \widehat {BAB'} + \widehat {B'AC'} = \widehat {BAB'} + {90^0}\\\widehat {B'AC} = \widehat {B'AB} + \widehat {BAC} = \widehat {B'AB} + {90^0}\\ \Rightarrow \widehat {BAC'} = \widehat {B'AC}\\ \Rightarrow \cos \widehat {BAC'} = \cos \widehat {B'AC}\end{array}\)
Do đó,
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {AC} \)
\(\Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC'}  - \overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {AC}  = 0\)
\(\Rightarrow \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {CC'}  = 0 \Leftrightarrow AI \bot CC'\)
Tương tự \(\overrightarrow {AJ} . \overrightarrow {B{B'}} \)
\(= {1 \over 2}(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {A{C'}}). (\overrightarrow {A{B'}}  - \overrightarrow {AB})\)
\(\eqalign{
& = {1 \over 2}(\overrightarrow {AC} . \overrightarrow {A{B'}} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{C'}} . \overrightarrow {A{B'}} - \overrightarrow {A{C'}} . \overrightarrow {AB})\cr 
& = \frac{1}{2}\left({\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB'}  - \overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {AB} } \right) = 0\cr&\Rightarrow AJ \bot B{B'} \cr} \)

Câu b​

\(B{C'} \bot {B'}C \)
Lời giải chi tiết:
Ta có
\(\eqalign{
& \overrightarrow {B{C'}} . \overrightarrow {{B'}C} \cr&= (\overrightarrow {A{C'}} - \overrightarrow {AB}). (\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {A{B'}}) \cr 
& = \overrightarrow {A{C'}} . \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {A{C'}} . \overrightarrow {A{B'}} - \overrightarrow {AB} . \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} . \overrightarrow {A{B'}} \cr} \)
\(= \overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB'} \)
(vì \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {AC'}  = 0\))
\(\overrightarrow {AB} . \overrightarrow {A{B'}}  = AB. A{B'}.\cos \widehat {BA{B'}}\)
\(\overrightarrow {AC} . \overrightarrow {A{C'}}\)\(  = AC. A{C'}.\cos ({180^0} - \widehat {BA{B'}}) \)
\(=  - \overrightarrow {AB} . \overrightarrow {A{B'}}.\)
Do đó: \(\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB'}  \)\(=  - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB'}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB'}  = 0\)
Suy ra \(\overrightarrow {B{C'}} . \overrightarrow {{B'}C} =\overrightarrow 0\)
Vậy \(B{C'} \bot {B'}C\).