Google
Câu hỏi: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau là
\({b^2} + {c^2} = 5{a^2}\)
\({b^2} + {c^2} = 5{a^2}\)
Lời giải chi tiết
Gọi G là giao điểm của hai trung tuyến BM, CN hay G là trọng tâm tam giác. Ta có:
\(\begin{array}{l}
BG = \frac{2}{3}BM\\
\Rightarrow B{G^2} = \frac{4}{9}B{M^2}\\
= \frac{4}{9}.\left({\frac{{B{A^2} + B{C^2}}}{2} - \frac{{A{C^2}}}{4}} \right)\\
= \frac{{2\left({B{A^2} + B{C^2}} \right) - A{C^2}}}{9}
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
CG = \frac{2}{3}CN\\
\Rightarrow C{G^2} = \frac{4}{9}C{N^2}\\
= \frac{4}{9}.\left({\frac{{C{A^2} + C{B^2}}}{2} - \frac{{B{A^2}}}{4}} \right)\\
= \frac{{2\left({C{A^2} + C{B^2}} \right) - B{A^2}}}{9}
\end{array}\)
Do đó \(BM \bot CN \Leftrightarrow BG \bot CG\)
\(\Leftrightarrow \Delta BGC\) vuông tại G
\(\Leftrightarrow B{G^2} + C{G^2} = B{C^2}\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{2\left({B{A^2} + B{C^2}} \right) - A{C^2}}}{9} + \frac{{2\left({C{A^2} + C{B^2}} \right) - A{B^2}}}{9} = B{C^2}\\
\Leftrightarrow \frac{{2B{A^2} + 2B{C^2} - A{C^2} + 2C{A^2} + 2C{B^2} - A{B^2}}}{9} = B{C^2}\\
\Leftrightarrow \frac{{A{B^2} + 4B{C^2} + A{C^2}}}{9} = B{C^2}\\
\Leftrightarrow A{B^2} + 4B{C^2} + A{C^2} = 9B{C^2}\\
\Leftrightarrow A{B^2} + A{C^2} = 5B{C^2}\\
\Rightarrow {c^2} + {b^2} = 5{a^2}
\end{array}\)
Cách khác:
Giả sử $\mathrm{BE}$ và $\mathrm{CF}$ là hai trung tuyến của tam giác $\mathrm{ABC}$.
Gọi G là trọng tâm của tam giác.
Ta có: $B E \perp C F$ nên tam giác GBC vuông tại G.
* Do tam giác GBC vuông tại $\mathrm{G}$
GM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên:
$G M=\frac{1}{2} B C$ $\left(^{*}\right)$
* Do G là trọng tâm tam giác $\mathrm{ABC}$ nên :
$G M=\frac{1}{3} A M=\frac{1}{3} m_{a}$
Từ $\left(^{*}\right)$ suy ra
$\left(\frac{1}{3} m_{a}\right)^{2}=\left(\frac{a}{2}\right)^{2} \Leftrightarrow \frac{1}{9} \cdot m_{a}^{2}=\frac{a^{2}}{4}$
$\left(\frac{1}{3} m_{a}\right)^{2}=\left(\frac{a}{2}\right)^{2} \Leftrightarrow \frac{1}{9} \cdot m_{a}^{2}=\frac{a^{2}}{4}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{9} \cdot\left(\frac{b^{2}+c^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{4}\right)=\frac{a^{2}}{4}$
$\Leftrightarrow \frac{b^{2}+c^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{4}=\frac{9 a^{2}}{4}$
$\Leftrightarrow \frac{b^{2}+c^{2}}{2}=\frac{5 a^{2}}{2}$
$\Leftrightarrow b^{2}+c^{2}=5 a^{2}$
Suy ra điều phải chứng minh.
Gọi G là giao điểm của hai trung tuyến BM, CN hay G là trọng tâm tam giác. Ta có:
\(\begin{array}{l}
BG = \frac{2}{3}BM\\
\Rightarrow B{G^2} = \frac{4}{9}B{M^2}\\
= \frac{4}{9}.\left({\frac{{B{A^2} + B{C^2}}}{2} - \frac{{A{C^2}}}{4}} \right)\\
= \frac{{2\left({B{A^2} + B{C^2}} \right) - A{C^2}}}{9}
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
CG = \frac{2}{3}CN\\
\Rightarrow C{G^2} = \frac{4}{9}C{N^2}\\
= \frac{4}{9}.\left({\frac{{C{A^2} + C{B^2}}}{2} - \frac{{B{A^2}}}{4}} \right)\\
= \frac{{2\left({C{A^2} + C{B^2}} \right) - B{A^2}}}{9}
\end{array}\)
Do đó \(BM \bot CN \Leftrightarrow BG \bot CG\)
\(\Leftrightarrow \Delta BGC\) vuông tại G
\(\Leftrightarrow B{G^2} + C{G^2} = B{C^2}\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{2\left({B{A^2} + B{C^2}} \right) - A{C^2}}}{9} + \frac{{2\left({C{A^2} + C{B^2}} \right) - A{B^2}}}{9} = B{C^2}\\
\Leftrightarrow \frac{{2B{A^2} + 2B{C^2} - A{C^2} + 2C{A^2} + 2C{B^2} - A{B^2}}}{9} = B{C^2}\\
\Leftrightarrow \frac{{A{B^2} + 4B{C^2} + A{C^2}}}{9} = B{C^2}\\
\Leftrightarrow A{B^2} + 4B{C^2} + A{C^2} = 9B{C^2}\\
\Leftrightarrow A{B^2} + A{C^2} = 5B{C^2}\\
\Rightarrow {c^2} + {b^2} = 5{a^2}
\end{array}\)
Cách khác:
Giả sử $\mathrm{BE}$ và $\mathrm{CF}$ là hai trung tuyến của tam giác $\mathrm{ABC}$.
Gọi G là trọng tâm của tam giác.
Ta có: $B E \perp C F$ nên tam giác GBC vuông tại G.
* Do tam giác GBC vuông tại $\mathrm{G}$
GM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên:
$G M=\frac{1}{2} B C$ $\left(^{*}\right)$
* Do G là trọng tâm tam giác $\mathrm{ABC}$ nên :
$G M=\frac{1}{3} A M=\frac{1}{3} m_{a}$
Từ $\left(^{*}\right)$ suy ra
$\left(\frac{1}{3} m_{a}\right)^{2}=\left(\frac{a}{2}\right)^{2} \Leftrightarrow \frac{1}{9} \cdot m_{a}^{2}=\frac{a^{2}}{4}$
$\left(\frac{1}{3} m_{a}\right)^{2}=\left(\frac{a}{2}\right)^{2} \Leftrightarrow \frac{1}{9} \cdot m_{a}^{2}=\frac{a^{2}}{4}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{9} \cdot\left(\frac{b^{2}+c^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{4}\right)=\frac{a^{2}}{4}$
$\Leftrightarrow \frac{b^{2}+c^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{4}=\frac{9 a^{2}}{4}$
$\Leftrightarrow \frac{b^{2}+c^{2}}{2}=\frac{5 a^{2}}{2}$
$\Leftrightarrow b^{2}+c^{2}=5 a^{2}$
Suy ra điều phải chứng minh.