Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\) có hai trung tuyến kẻ từ \(A\) và \(B\) vuông góc. Chứng minh rằng:
a) \({a^2} + {b^2} = 5{c^2}.\)
b) \(\cot C = 2\left( {\cot A + cotB} \right).\)
a) \({a^2} + {b^2} = 5{c^2}.\)
b) \(\cot C = 2\left( {\cot A + cotB} \right).\)
Phương pháp giải
- Sử dụng định lý Pi-ta-go để tính \({c^2}\) và tích chất trọng tâm
- Áp dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác
- Sử dụng định lý cosin và diện tích của tam giác
Lời giải chi tiết
a) \({a^2} + {b^2} = 5{c^2}.\)
Xét \(\Delta AGB\) vuông tại \(G\) có:
\(\begin{array}{l}{c^2} = A{B^2} = A{G^2} + B{G^2}\\{c^2} = {\left( {\frac{2}{3}AM} \right)^2} + {\left( {\frac{2}{3}BN} \right)^2}\\{c^2} = \frac{4}{9}\left( {\frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}} \right) + \frac{4}{9}\left( {\frac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4}} \right)\\{c^2} = \frac{4}{9}\left( {\frac{{{a^2} + {b^2} + 2{c^2}}}{2} - \frac{{{a^2} + {b^2}}}{4}} \right)\\{c^2} = \frac{4}{9}.\frac{{{a^2} + {b^2} + 4{c^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow 9{c^2} = {a^2} + {b^2} + 4{c^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 5{c^2} \left( {dpcm} \right)\end{array}\)
b) \(\cot C = 2\left( {\cot A + cotB} \right).\)
\(\begin{array}{l}\cot C = \frac{{\cos C}}{{\sin C}} = \frac{{\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}}}{{\frac{{2S}}{{ab}}}} = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{4S}} = \frac{{{c^2}}}{S}\\2\left( {\cot A + \cot B} \right) = 2\left( {\frac{{\cos A}}{{\sin A}} + \frac{{\cos B}}{{\sin B}}} \right) = 2\left( {\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4S}} + \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{4S}}} \right) = \frac{{2.2{c^2}}}{{4S}} = \frac{{{c^2}}}{{S}}\\ \Rightarrow \cot C = 2\left( {\cot A + \cot B} \right) \left( {dpcm} \right)\end{array}\)
- Sử dụng định lý Pi-ta-go để tính \({c^2}\) và tích chất trọng tâm
- Áp dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác
- Sử dụng định lý cosin và diện tích của tam giác
Lời giải chi tiết
a) \({a^2} + {b^2} = 5{c^2}.\)
Xét \(\Delta AGB\) vuông tại \(G\) có:
\(\begin{array}{l}{c^2} = A{B^2} = A{G^2} + B{G^2}\\{c^2} = {\left( {\frac{2}{3}AM} \right)^2} + {\left( {\frac{2}{3}BN} \right)^2}\\{c^2} = \frac{4}{9}\left( {\frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}} \right) + \frac{4}{9}\left( {\frac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4}} \right)\\{c^2} = \frac{4}{9}\left( {\frac{{{a^2} + {b^2} + 2{c^2}}}{2} - \frac{{{a^2} + {b^2}}}{4}} \right)\\{c^2} = \frac{4}{9}.\frac{{{a^2} + {b^2} + 4{c^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow 9{c^2} = {a^2} + {b^2} + 4{c^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 5{c^2} \left( {dpcm} \right)\end{array}\)
b) \(\cot C = 2\left( {\cot A + cotB} \right).\)
\(\begin{array}{l}\cot C = \frac{{\cos C}}{{\sin C}} = \frac{{\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}}}{{\frac{{2S}}{{ab}}}} = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{4S}} = \frac{{{c^2}}}{S}\\2\left( {\cot A + \cot B} \right) = 2\left( {\frac{{\cos A}}{{\sin A}} + \frac{{\cos B}}{{\sin B}}} \right) = 2\left( {\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4S}} + \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{4S}}} \right) = \frac{{2.2{c^2}}}{{4S}} = \frac{{{c^2}}}{{S}}\\ \Rightarrow \cot C = 2\left( {\cot A + \cot B} \right) \left( {dpcm} \right)\end{array}\)