Google
Câu hỏi: Cho góc \(\alpha , {90^ \circ } < \alpha < {180^ \circ }\) thỏa mãn \(\sin \alpha = \frac{3}{4}.\) Tính giá trị của biểu thức
\(F = \frac{{\tan \alpha + 2\cot \alpha }}{{\tan \alpha + \cot \alpha }}.\)
\(F = \frac{{\tan \alpha + 2\cot \alpha }}{{\tan \alpha + \cot \alpha }}.\)
Phương pháp giải
Tính cos a, từ đó suy ra \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\) và \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\) rồi tính giá trị biểu thức F.
Lời giải chi tiết
Vì \({90^ \circ } < \alpha < {180^ \circ }\)nên \(\cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - \frac{9}{{16}}} = - \frac{{\sqrt 7 }}{4}.\)
Ta có: \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{3}{4}:\left( { - \frac{{\sqrt 7 }}{4}} \right) = \frac{{ - 3}}{{\sqrt 7 }}\) và \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{ - \sqrt 7 }}{4}:\frac{3}{4} = \frac{{ - \sqrt 7 }}{3}.\)
\(F = \frac{{\tan \alpha + 2\cot \alpha }}{{\tan \alpha + \cot \alpha }} = \frac{{\frac{{ - 3}}{{\sqrt 7 }} + 2.\frac{{ - \sqrt 7 }}{3}}}{{\frac{{ - 3}}{{\sqrt 7 }} - \frac{{\sqrt 7 }}{3}}} = \frac{{\frac{{ - 23}}{{3\sqrt 7 }}}}{{\frac{{ - 16}}{{3\sqrt 7 }}}} = \frac{{23}}{{16}}.\)
Tính cos a, từ đó suy ra \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\) và \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\) rồi tính giá trị biểu thức F.
Lời giải chi tiết
Vì \({90^ \circ } < \alpha < {180^ \circ }\)nên \(\cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - \frac{9}{{16}}} = - \frac{{\sqrt 7 }}{4}.\)
Ta có: \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{3}{4}:\left( { - \frac{{\sqrt 7 }}{4}} \right) = \frac{{ - 3}}{{\sqrt 7 }}\) và \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{ - \sqrt 7 }}{4}:\frac{3}{4} = \frac{{ - \sqrt 7 }}{3}.\)
\(F = \frac{{\tan \alpha + 2\cot \alpha }}{{\tan \alpha + \cot \alpha }} = \frac{{\frac{{ - 3}}{{\sqrt 7 }} + 2.\frac{{ - \sqrt 7 }}{3}}}{{\frac{{ - 3}}{{\sqrt 7 }} - \frac{{\sqrt 7 }}{3}}} = \frac{{\frac{{ - 23}}{{3\sqrt 7 }}}}{{\frac{{ - 16}}{{3\sqrt 7 }}}} = \frac{{23}}{{16}}.\)