Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\) có các góc thỏa mãn \(\frac{{\sin A}}{1} = \frac{{\sin B}}{2} = \frac{{\sin C}}{{\sqrt 3 }}.\) Tính số đo các góc của tam giác.
Phương pháp giải
- Áp dụng định lý sin để tìm \(AB, AC, BC.\)
- Áp dụng định lý cosin để tính các góc \(A, B, C.\)
Lời giải chi tiết
Áp dụng định lý sin cho \(\Delta ABC\) có \(\frac{{\sin A}}{{BC}} = \frac{{\sin B}}{{AC}} = \frac{{\sin C}}{{AB}}\)
Mặt khác \(\frac{{\sin A}}{1} = \frac{{\sin B}}{2} = \frac{{\sin C}}{{\sqrt 3 }}.\)
Nên \(BC:AC:AB = 1:2:\sqrt 3 \)
Chọn \(BC = 1, AC = 2, AB = \sqrt 3 .\)
Áp dụng định lý cosin, ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}}}\\{\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2AB.BC}}}\\{\widehat C = {{180}^ \circ } - \widehat A - \widehat B}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos A = \frac{{3 + 4 - 1}}{{2.2\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\\{\cos B = \frac{{3 + 1 - 4}}{{2.\sqrt 3 }} = 0}\\{\widehat C = {{180}^ \circ } - \widehat A - \widehat B}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\widehat A = {{30}^0}}\\{\widehat B = {{90}^ \circ }}\\{\widehat C = {{60}^ \circ }}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)
- Áp dụng định lý sin để tìm \(AB, AC, BC.\)
- Áp dụng định lý cosin để tính các góc \(A, B, C.\)
Lời giải chi tiết
Áp dụng định lý sin cho \(\Delta ABC\) có \(\frac{{\sin A}}{{BC}} = \frac{{\sin B}}{{AC}} = \frac{{\sin C}}{{AB}}\)
Mặt khác \(\frac{{\sin A}}{1} = \frac{{\sin B}}{2} = \frac{{\sin C}}{{\sqrt 3 }}.\)
Nên \(BC:AC:AB = 1:2:\sqrt 3 \)
Chọn \(BC = 1, AC = 2, AB = \sqrt 3 .\)
Áp dụng định lý cosin, ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}}}\\{\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2AB.BC}}}\\{\widehat C = {{180}^ \circ } - \widehat A - \widehat B}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos A = \frac{{3 + 4 - 1}}{{2.2\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\\{\cos B = \frac{{3 + 1 - 4}}{{2.\sqrt 3 }} = 0}\\{\widehat C = {{180}^ \circ } - \widehat A - \widehat B}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\widehat A = {{30}^0}}\\{\widehat B = {{90}^ \circ }}\\{\widehat C = {{60}^ \circ }}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)