Google
Câu hỏi: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi N là trung điểm của CD, M là điểm trên AC sao cho \(AM = {1 \over 4}AC.\)
Lời giải chi tiết:
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD thì M là trung điểm AO.
Tam giác ABC vuông tại B nên:
\(\begin{array}{l}
A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\\
\Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} \\
= \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2
\end{array}\)
Do đó \(OA = OB = OC = OD \)\(= \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
\(\Rightarrow OM = \frac{1}{2}OA = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\)
N là trung điểm CD nên \(NC = \frac{1}{2}DC = \frac{a}{2}\).
Ta có:
\(\eqalign{
& B{N^2} = B{C^2} + N{C^2} \cr
& = {a^2} + {{{a^2}} \over 4} = {{5{a^2}} \over 4}\cr&\Rightarrow BN = {{a\sqrt 5 } \over 2} \cr
& B{M^2} = B{O^2} + O{M^2} \cr
& = {\left({{{a\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2} + {\left({{{a\sqrt 2 } \over 4}} \right)^2} = {{5{a^2}} \over 8} \cr
& \Rightarrow BM = {{a\sqrt {10} } \over 4} \cr} \)
Kẻ MP // AD ta có
\(\frac{{MP}}{{AD}} = \frac{{CM}}{{CA}} = \frac{3}{4} \)\(\Rightarrow MP = \frac{3}{4}AD = \frac{{3a}}{4}\)
\(\frac{{CP}}{{CD}} = \frac{{CM}}{{CA}} = \frac{3}{4} \)\(\Rightarrow CP = \frac{3}{4}CD = \frac{{3a}}{4} \)\(\Rightarrow PD = CD - CP = a - \frac{{3a}}{4} = \frac{a}{4}\)
\(\Rightarrow NP = DN - PD = \frac{a}{2} - \frac{a}{4} = \frac{a}{4}\)
Tam giác MNP vuông tại P nên:
\(M{N^2} = M{P^2} + P{N^2} \)\(= {\left( {{{3a} \over 4}} \right)^2} + {\left({{a \over 4}} \right)^2} = {{10{a^2}} \over {16}} \)
\(\Rightarrow MN = {{a\sqrt {10} } \over 4}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có \(MB = MN\) nên tam giác BMN cân tại M.
Lại có:
\(B{M^2} + M{N^2}\)
\(= {\left( {\frac{{a\sqrt {10} }}{4}} \right)^2} + {\left({\frac{{a\sqrt {10} }}{4}} \right)^2} \)
\(= \frac{{5{a^2}}}{4} \)
\(= B{N^2}\)
nên tam giác BMN vuông tại M.
Vậy tam giác BMN vuông cân tại M.
Diện tích tam giác BMN là
\({S_{BMN}} = {1 \over 2}MB. MN\)\( = \frac{1}{2}\frac{{a\sqrt {10} }}{4}.\frac{{a\sqrt {10} }}{4}= {{5{a^2}} \over {16}}\)
Lời giải chi tiết:
Tam giác DCB có hai đường trung tuyến CO và BN cắt nhau tại I nên I là trọng tâm tam giác BCD
Do đó, \(IC = {2 \over 3}IO = {2 \over 3}. A.{{\sqrt 2 } \over 2} = {{a\sqrt 2 } \over 3}\).
Lời giải chi tiết:
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN.
Áp dụng định lí sin ta có:
\({{BN} \over {\sin \widehat {BDN}}} = 2R\)
\(\Rightarrow R = {{BN} \over {2\sin {{45}^0}}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 5 }}{2}}}{{2.\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}= {{a\sqrt {10} } \over 4}\)
Câu a
Tính các cạnh của tam giác BMNLời giải chi tiết:
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD thì M là trung điểm AO.
Tam giác ABC vuông tại B nên:
\(\begin{array}{l}
A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\\
\Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} \\
= \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2
\end{array}\)
Do đó \(OA = OB = OC = OD \)\(= \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
\(\Rightarrow OM = \frac{1}{2}OA = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\)
N là trung điểm CD nên \(NC = \frac{1}{2}DC = \frac{a}{2}\).
Ta có:
\(\eqalign{
& B{N^2} = B{C^2} + N{C^2} \cr
& = {a^2} + {{{a^2}} \over 4} = {{5{a^2}} \over 4}\cr&\Rightarrow BN = {{a\sqrt 5 } \over 2} \cr
& B{M^2} = B{O^2} + O{M^2} \cr
& = {\left({{{a\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2} + {\left({{{a\sqrt 2 } \over 4}} \right)^2} = {{5{a^2}} \over 8} \cr
& \Rightarrow BM = {{a\sqrt {10} } \over 4} \cr} \)
Kẻ MP // AD ta có
\(\frac{{MP}}{{AD}} = \frac{{CM}}{{CA}} = \frac{3}{4} \)\(\Rightarrow MP = \frac{3}{4}AD = \frac{{3a}}{4}\)
\(\frac{{CP}}{{CD}} = \frac{{CM}}{{CA}} = \frac{3}{4} \)\(\Rightarrow CP = \frac{3}{4}CD = \frac{{3a}}{4} \)\(\Rightarrow PD = CD - CP = a - \frac{{3a}}{4} = \frac{a}{4}\)
\(\Rightarrow NP = DN - PD = \frac{a}{2} - \frac{a}{4} = \frac{a}{4}\)
Tam giác MNP vuông tại P nên:
\(M{N^2} = M{P^2} + P{N^2} \)\(= {\left( {{{3a} \over 4}} \right)^2} + {\left({{a \over 4}} \right)^2} = {{10{a^2}} \over {16}} \)
\(\Rightarrow MN = {{a\sqrt {10} } \over 4}\)
Câu b
Có nhận xét gì về tam giác BMN? Tính diện tích tam giác đó.Lời giải chi tiết:
Ta có \(MB = MN\) nên tam giác BMN cân tại M.
Lại có:
\(B{M^2} + M{N^2}\)
\(= {\left( {\frac{{a\sqrt {10} }}{4}} \right)^2} + {\left({\frac{{a\sqrt {10} }}{4}} \right)^2} \)
\(= \frac{{5{a^2}}}{4} \)
\(= B{N^2}\)
nên tam giác BMN vuông tại M.
Vậy tam giác BMN vuông cân tại M.
Diện tích tam giác BMN là
\({S_{BMN}} = {1 \over 2}MB. MN\)\( = \frac{1}{2}\frac{{a\sqrt {10} }}{4}.\frac{{a\sqrt {10} }}{4}= {{5{a^2}} \over {16}}\)
Câu c
Gọi I là giao điểm của BN và AC. Tính CI.Lời giải chi tiết:
Tam giác DCB có hai đường trung tuyến CO và BN cắt nhau tại I nên I là trọng tâm tam giác BCD
Do đó, \(IC = {2 \over 3}IO = {2 \over 3}. A.{{\sqrt 2 } \over 2} = {{a\sqrt 2 } \over 3}\).
Câu d
Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN.Lời giải chi tiết:
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN.
Áp dụng định lí sin ta có:
\({{BN} \over {\sin \widehat {BDN}}} = 2R\)
\(\Rightarrow R = {{BN} \over {2\sin {{45}^0}}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 5 }}{2}}}{{2.\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}= {{a\sqrt {10} } \over 4}\)
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!