Google
Câu hỏi: Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 1, BC = \sqrt 2 .\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AD.\)
a) Chứng minh rằng các đường thẳng \(AC\) và \(BM\) vuông góc với nhau.
b) Gọi \(H\) là giao điểm của \(AC, BM.\) Gọi \(N\) là trung điểm của \(AH\) và \(P\) là trung điểm của \(CD.\) Chứng minh rằng tam giác \(NBP\) là một tam giác vuông.
a) Chứng minh rằng các đường thẳng \(AC\) và \(BM\) vuông góc với nhau.
b) Gọi \(H\) là giao điểm của \(AC, BM.\) Gọi \(N\) là trung điểm của \(AH\) và \(P\) là trung điểm của \(CD.\) Chứng minh rằng tam giác \(NBP\) là một tam giác vuông.
Phương pháp giải
- Tính các vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BM} \) xong tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BM} \)
- Tính độ dài các cạnh \(AC, AH\)
- Tính các vectơ \(\overrightarrow {NB} \) và \(\overrightarrow {NP} \) xong tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {NB} .\overrightarrow {NP} \)
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \) (quy tắc hình bình hành)
Ta có: \(\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} \)
\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BM} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)\)
\(\begin{array}{l} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - {\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{2}{\overrightarrow {AD} ^2} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \\ = - {\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{2}{\overrightarrow {AD} ^2} = - 1 + \frac{1}{2}\left( {\sqrt 2 } \right) - 1 + 1 = 0\end{array}\)
\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AC} \bot \overrightarrow {BM} \) \( \Rightarrow \) \(AC \bot BM\)
b) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) có:
\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {1 + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt 3 \) (1)
Xét \(\Delta ABN\) vuông tại \(A\) có:
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
\( \Rightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}} = 1 + 2 = 3\)
\( \Rightarrow AH = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) \(AH = \frac{1}{3}AC\)
Ta có: \(\overrightarrow {NB} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} = \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AD} \)
Ta có: \(\overrightarrow {NP} = \overrightarrow {CP} - \overrightarrow {CN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} - \frac{5}{6}\overrightarrow {CA} = \frac{5}{6}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \frac{5}{6}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \)
\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {NB} .\overrightarrow {NP} = \left( {\frac{5}{6}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AD} } \right)\left( {\frac{5}{6}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} } \right)\)
\(\begin{array}{l} = \frac{{25}}{{36}}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \frac{5}{{18}}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{5}{{36}}{\overrightarrow {AD} ^2} - \frac{1}{{18}}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \\ = \frac{5}{{18}}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{5}{{36}}{\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{5}{{18}}.1 - \frac{5}{{36}}.\left( {\sqrt 2 } \right) = \frac{5}{{18}} - \frac{5}{{18}} = 0\end{array}\)
\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {NB} \bot \overrightarrow {NP} \) \( \Rightarrow \) \(NB \bot NP\)
\( \Rightarrow \) \(\Delta NBP\) vuông tại \(N\).
- Tính các vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BM} \) xong tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BM} \)
- Tính độ dài các cạnh \(AC, AH\)
- Tính các vectơ \(\overrightarrow {NB} \) và \(\overrightarrow {NP} \) xong tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {NB} .\overrightarrow {NP} \)
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \) (quy tắc hình bình hành)
Ta có: \(\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} \)
\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BM} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)\)
\(\begin{array}{l} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - {\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{2}{\overrightarrow {AD} ^2} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \\ = - {\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{2}{\overrightarrow {AD} ^2} = - 1 + \frac{1}{2}\left( {\sqrt 2 } \right) - 1 + 1 = 0\end{array}\)
\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AC} \bot \overrightarrow {BM} \) \( \Rightarrow \) \(AC \bot BM\)
b) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) có:
\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {1 + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt 3 \) (1)
Xét \(\Delta ABN\) vuông tại \(A\) có:
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
\( \Rightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}} = 1 + 2 = 3\)
\( \Rightarrow AH = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) \(AH = \frac{1}{3}AC\)
Ta có: \(\overrightarrow {NB} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} = \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AD} \)
Ta có: \(\overrightarrow {NP} = \overrightarrow {CP} - \overrightarrow {CN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} - \frac{5}{6}\overrightarrow {CA} = \frac{5}{6}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \frac{5}{6}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \)
\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {NB} .\overrightarrow {NP} = \left( {\frac{5}{6}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AD} } \right)\left( {\frac{5}{6}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} } \right)\)
\(\begin{array}{l} = \frac{{25}}{{36}}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \frac{5}{{18}}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{5}{{36}}{\overrightarrow {AD} ^2} - \frac{1}{{18}}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \\ = \frac{5}{{18}}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{5}{{36}}{\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{5}{{18}}.1 - \frac{5}{{36}}.\left( {\sqrt 2 } \right) = \frac{5}{{18}} - \frac{5}{{18}} = 0\end{array}\)
\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {NB} \bot \overrightarrow {NP} \) \( \Rightarrow \) \(NB \bot NP\)
\( \Rightarrow \) \(\Delta NBP\) vuông tại \(N\).