Bài 6 trang 70 SGK Hình học 10 nâng cao

Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ, cho \(\overrightarrow e  = (4; 1)\) và \(\overrightarrow f  = (1; 4)\).

Câu a​

Tìm góc giữa các vec tơ \(\overrightarrow e \) và \(\overrightarrow f \).
Lời giải chi tiết:
Góc giữa các vectơ \(\overrightarrow e \) và \(\overrightarrow f \)
\(\eqalign{
& \cos (\overrightarrow {e } , \overrightarrow f) = {{\overrightarrow {e } . \overrightarrow f } \over {|\overrightarrow {e } |. |\overrightarrow {f|} }} \cr&= {{4.1 + 1.4} \over {\sqrt {{4^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {4^2}} }} = {8 \over {17}} \cr 
& \Rightarrow (\overrightarrow {e } , \overrightarrow f) \approx {61^0}{56'} \cr} \)

Câu b​

Tìm m để vec tơ \(\overrightarrow a  = \overrightarrow e  + m\overrightarrow f \) vuông góc với trục hoành.
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\overrightarrow a  = \overrightarrow {e }  + m\overrightarrow {f }  = (4 + m; 1 + 4m)\).
Trục hoành Ox có véc tơ đơn vị \(\overrightarrow i  = \left( {1; 0} \right)\) nên:
\(\overrightarrow a  = \overrightarrow e  + m\overrightarrow f \) vuông góc với trục hoành
\( \Leftrightarrow \overrightarrow a . \overrightarrow i  = 0 \Leftrightarrow 4 + m = 0\)
\(\Leftrightarrow m =  - 4\)

Câu c​

Tìm n để vec tơ \(\overrightarrow b  = n\overrightarrow e  + \overrightarrow f \) tạo với vec tơ \(\overrightarrow i  + \overrightarrow j \) một góc \({45^0}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có
\(\eqalign{
& \overrightarrow b = n\overrightarrow e + \overrightarrow f = (4n + 1; n + 4)\cr&\overrightarrow i + \overrightarrow j = (1; 1) \cr 
& (\overrightarrow b ; \overrightarrow i + \overrightarrow j) = {45^0}\cr&\Rightarrow \cos {45^0} = {{\overrightarrow b . (\overrightarrow i + \overrightarrow j)} \over {|\overrightarrow b |. | \overrightarrow i + \overrightarrow j |}} \cr 
&  \Rightarrow {{\sqrt 2 } \over 2} = {{(4n + 1) + (n + 4)} \over {\sqrt {{{(4n + 1)}^2} + {{(n + 4)}^2}} . \sqrt {{1^2} + {1^2}} }} \cr 
&  \Rightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{5n + 5}}{{\sqrt {{{\left({4n + 1} \right)}^2} + {{\left({n + 4} \right)}^2}} .\sqrt 2 }} \cr&\Rightarrow \sqrt 2 .\sqrt 2 \sqrt {{{\left({4n + 1} \right)}^2} + {{\left({n + 4} \right)}^2}}  = 2.\left({5n + 5} \right)\cr&  \Rightarrow \sqrt {{{\left({4n + 1} \right)}^2} + {{\left({n + 4} \right)}^2}}  = 5n + 5\cr&\Rightarrow {(4n + 1)^2} + {(n + 4)^2} = {(5n + 5)^2} \cr 
& \Leftrightarrow 16{n^2} + 8n + 1 + {n^2} + 8n + 16 = 25{n^2} + 50n + 25\cr& \Rightarrow 8{n^2} + 34n + 8 = 0\cr&\Rightarrow n = {{ - 1} \over 4} ; n = - 4. \cr} \)
Thử lại với \(n =  - 4\) ta có \(\overrightarrow b  = ( - 15; 0)\).
\(\cos (\overrightarrow b ; \overrightarrow i  + \overrightarrow j)\)\(= {{ - 15} \over {15.\sqrt 2 }} =  - {1 \over {\sqrt 2 }}\) (loại)
Với \(n = {{ - 1} \over 4} ; \overrightarrow b  = \left( {0 ; {{15} \over 4}} \right)\)
\(\cos (\overrightarrow b ; \overrightarrow i  + \overrightarrow j) = {1 \over {\sqrt 2 }}\) (nhận).
Vậy \(n = {{ - 1} \over 4}\).