Google
Câu hỏi: Cho đường tròn (O; R) và một điểm P cố định ở bên trong đường tròn đó. Hai dây cung thay đổi AB và CD luôn đi qua P và vuông góc với nhau.
Lời giải chi tiết:
Gọi I và J theo thứ tự là trung điểm của AB và CD.
Theo định lí quan hệ giữa đường kính và dây ta có:
OI ⊥ AB; OJ ⊥ CD;
Do đó tứ giác OIPJ là hình chữ nhật.
Ta có:
AB2 + CD2 = (2AI)2 + (2DJ)2
= 4 AI2 + 4DJ2 = 4. (AO2 – OI2 ) + 4(DO2 – OJ2 )
=4. (R2 – OI2 ) + 4(R2 – OJ2 )
= 4(2R2 – OI2 – OJ2 )
= 4. [2R2 – (OI2 + OJ2) ]
= 4. (2R2 – OP2) (vì OI2 + OJ2 = OI2 + IP2 = OP2 )
= 8R2 – 4. OP2
(không đổi vì R không đổi, O và P cố định nên OP không đổi)
Lời giải chi tiết:
Phương tích của điểm P với đường tròn:
\(\begin{array}{l}{P_{P/\left( O \right)}} = \overrightarrow {PA} .\overrightarrow {PB} = O{P^2} - {R^2}\\{P_{P/\left(O \right)}} = \overrightarrow {PC} .\overrightarrow {PD} = O{P^2} - {R^2}\end{array}\)
Ta có
\(\eqalign{
& P{A^2} + P{B^2} + P{C^2} + P{D^2} \cr&= {(\overrightarrow {PA} - \overrightarrow {PB})^2} + {(\overrightarrow {PC} - \overrightarrow {PD})^2} \cr&+ 2.\overrightarrow {PA} . \overrightarrow {PB} + 2\overrightarrow {PC} . \overrightarrow {PD} \cr
& = {\overrightarrow {BA} ^2} + {\overrightarrow {DC} ^2} + 2\left({\overrightarrow {PA} .\overrightarrow {PB} + \overrightarrow {PC} .\overrightarrow {PD} } \right) \cr&= A{B^2} + C{D^2} + 2\left({O{P^2} - {R^2} + O{P^2} - {R^2}} \right)\cr&= A{B^2} + C{D^2} + 2(2P{O^2} - 2{R^2}) \cr
& = 8{R^2} - 4O{P^2} + 4P{O^2} - 4{R^2} \cr
& = 4{R^2} \cr} \)
Vậy \(P{A^2} + P{B^2} + P{C^2} + P{D^2}\) không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.
Câu a
Chứng minh rằng \(A{B^2} + C{D^2}\) không đổi.Lời giải chi tiết:
Gọi I và J theo thứ tự là trung điểm của AB và CD.
Theo định lí quan hệ giữa đường kính và dây ta có:
OI ⊥ AB; OJ ⊥ CD;
Do đó tứ giác OIPJ là hình chữ nhật.
Ta có:
AB2 + CD2 = (2AI)2 + (2DJ)2
= 4 AI2 + 4DJ2 = 4. (AO2 – OI2 ) + 4(DO2 – OJ2 )
=4. (R2 – OI2 ) + 4(R2 – OJ2 )
= 4(2R2 – OI2 – OJ2 )
= 4. [2R2 – (OI2 + OJ2) ]
= 4. (2R2 – OP2) (vì OI2 + OJ2 = OI2 + IP2 = OP2 )
= 8R2 – 4. OP2
(không đổi vì R không đổi, O và P cố định nên OP không đổi)
Câu b
Chứng minh rằng \(P{A^2} + P{B^2} + P{C^2} + P{D^2}\) không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.Lời giải chi tiết:
Phương tích của điểm P với đường tròn:
\(\begin{array}{l}{P_{P/\left( O \right)}} = \overrightarrow {PA} .\overrightarrow {PB} = O{P^2} - {R^2}\\{P_{P/\left(O \right)}} = \overrightarrow {PC} .\overrightarrow {PD} = O{P^2} - {R^2}\end{array}\)
Ta có
\(\eqalign{
& P{A^2} + P{B^2} + P{C^2} + P{D^2} \cr&= {(\overrightarrow {PA} - \overrightarrow {PB})^2} + {(\overrightarrow {PC} - \overrightarrow {PD})^2} \cr&+ 2.\overrightarrow {PA} . \overrightarrow {PB} + 2\overrightarrow {PC} . \overrightarrow {PD} \cr
& = {\overrightarrow {BA} ^2} + {\overrightarrow {DC} ^2} + 2\left({\overrightarrow {PA} .\overrightarrow {PB} + \overrightarrow {PC} .\overrightarrow {PD} } \right) \cr&= A{B^2} + C{D^2} + 2\left({O{P^2} - {R^2} + O{P^2} - {R^2}} \right)\cr&= A{B^2} + C{D^2} + 2(2P{O^2} - 2{R^2}) \cr
& = 8{R^2} - 4O{P^2} + 4P{O^2} - 4{R^2} \cr
& = 4{R^2} \cr} \)
Vậy \(P{A^2} + P{B^2} + P{C^2} + P{D^2}\) không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!