Google
Câu hỏi: Cho mặt phẳng (P) : x + 2y – 2z + 3 = 0 và đường thẳng d: \(\left\{ {\matrix{{x = 1 + t} \cr {y = 1 + t} \cr {z = 9} \cr} } \right.\)
Lập phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (P).
Lập phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (P).
Phương pháp giải
- Lập phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa \(d\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
- Tìm giao tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).
Lời giải chi tiết
Đường thẳng d đi qua A(1; 1; 9) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a (1; 1; 0)\).
Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với (P).
Ta có: \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( { - 2; 2; 1} \right)\)
Phương trình của (Q) là : \(-2x + 2y + z – 9 = 0\)
Khi đó: \(d' = (P) \cap (Q)\)
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {6; 3; 6} \right)\)
Chọn vecto chỉ phương của d’ là: \(\overrightarrow {{a_{d'}}} = (2; 1; 2)\)
Lấy một điểm thuộc \((P) \cap (Q)\), chẳng hạn A(-3; 1; 1)
Khi đó, phương trình của d’ là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 3 + 2t}\\{y = 1 + t}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.\)
- Lập phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa \(d\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
- Tìm giao tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).
Lời giải chi tiết
Đường thẳng d đi qua A(1; 1; 9) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a (1; 1; 0)\).
Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với (P).
Ta có: \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( { - 2; 2; 1} \right)\)
Phương trình của (Q) là : \(-2x + 2y + z – 9 = 0\)
Khi đó: \(d' = (P) \cap (Q)\)
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {6; 3; 6} \right)\)
Chọn vecto chỉ phương của d’ là: \(\overrightarrow {{a_{d'}}} = (2; 1; 2)\)
Lấy một điểm thuộc \((P) \cap (Q)\), chẳng hạn A(-3; 1; 1)
Khi đó, phương trình của d’ là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 3 + 2t}\\{y = 1 + t}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.\)