Google
Câu hỏi: Trong không gian $O x y z$, cho hai mặt phẳng $(P): x-y-6=0$ và $(Q)$. Biết rằng điểm $H(2 ;-1 ;-2)$ là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ $O(0 ; 0 ; 0)$ xuống mặt phẳng $(Q)$. Số đo góc giữa mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(Q)$ bằng
A. $90^{\circ}$.
B. $60^{\circ}$.
C. $45^{\circ}$.
D. $30^{\circ}$.
A. $90^{\circ}$.
B. $60^{\circ}$.
C. $45^{\circ}$.
D. $30^{\circ}$.
Ta có $(P): x-y-6=0 \Rightarrow \overrightarrow{n_P}(1 ;-1 ; 0)$.
Theo giả thiết điểm $H(2 ;-1 ;-2)$ là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ $O(0 ; 0 ; 0)$ xuống mặt phẳng $(Q)$ nên $\overrightarrow{n_Q}=\overrightarrow{O H}=(2 ;-1 ;-2)$.
Do đó $\cos ((P) ;(Q))=\dfrac{\left|\overrightarrow{n_P n_Q}\right|}{\left|\overrightarrow{n_P}\right|\left|\overrightarrow{n_Q}\right|}=\dfrac{|1.2+(-1)(-1)+0 .(-2)|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2} \cdot \sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Suy ra $((P) ;(Q))=45^{\circ}$.
Theo giả thiết điểm $H(2 ;-1 ;-2)$ là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ $O(0 ; 0 ; 0)$ xuống mặt phẳng $(Q)$ nên $\overrightarrow{n_Q}=\overrightarrow{O H}=(2 ;-1 ;-2)$.
Do đó $\cos ((P) ;(Q))=\dfrac{\left|\overrightarrow{n_P n_Q}\right|}{\left|\overrightarrow{n_P}\right|\left|\overrightarrow{n_Q}\right|}=\dfrac{|1.2+(-1)(-1)+0 .(-2)|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2} \cdot \sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Suy ra $((P) ;(Q))=45^{\circ}$.
Đáp án C.
