Google
Câu hỏi: Trong không gian $O x y z$, cho mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x-2 y+2 z-5=0$. Xét mặt phẳng $(Q): x+(2 m-1) z+7=0$, với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả giá trị của $m$ để $(P)$ tạo với $(Q)$ góc $\dfrac{\pi}{4}$.
A. $\left[\begin{array}{l}m=2 \\ m=4\end{array}\right.$.
B. $\left[\begin{array}{l}m=4 \\ m=\sqrt{2}\end{array}\right.$.
C. $\left[\begin{array}{l}m=1 \\ m=4\end{array}\right.$.
D. $\left[\begin{array}{l}m=2 \\ m=-2 \sqrt{2}\end{array}\right.$.
A. $\left[\begin{array}{l}m=2 \\ m=4\end{array}\right.$.
B. $\left[\begin{array}{l}m=4 \\ m=\sqrt{2}\end{array}\right.$.
C. $\left[\begin{array}{l}m=1 \\ m=4\end{array}\right.$.
D. $\left[\begin{array}{l}m=2 \\ m=-2 \sqrt{2}\end{array}\right.$.
Mặt phẳng $(P),(Q)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_p}=(1 ;-2 ; 2), \overrightarrow{n_Q}=(1 ; 0 ; 2 m-1)$ Vì $(P)$ tạo với $(Q)$ góc $\dfrac{\pi}{4}$ nên
$
\begin{aligned}
\cos \dfrac{\pi}{4}=\left|\cos \left(\overrightarrow{n_p} ; \overrightarrow{n_Q}\right)\right| & \Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{|1+2(2 m-1)|}{3 \cdot \sqrt{1+(2 m-1)^2}} \\
& \Leftrightarrow 2(4 m-1)^2=9\left(4 m^2-4 m+2\right) \\
& \Leftrightarrow 4 m^2-20 m+16=0 \\
& \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
m=1 \\
m=4
\end{array} .\right.
\end{aligned}
$
$
\begin{aligned}
\cos \dfrac{\pi}{4}=\left|\cos \left(\overrightarrow{n_p} ; \overrightarrow{n_Q}\right)\right| & \Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{|1+2(2 m-1)|}{3 \cdot \sqrt{1+(2 m-1)^2}} \\
& \Leftrightarrow 2(4 m-1)^2=9\left(4 m^2-4 m+2\right) \\
& \Leftrightarrow 4 m^2-20 m+16=0 \\
& \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
m=1 \\
m=4
\end{array} .\right.
\end{aligned}
$
Đáp án C.