Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 0), B(0; 0; 8) và điểm C sao cho \(\overrightarrow {AC} = (0; 6; 0)\). Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA.
Phương pháp giải
- Tìm tọa độ trung điểm \(I\) của \(BC\).
- Viết phương trình mặt phẳng đi qua \(I\) và vuông góc với \(OA\).
- Tìm giao điểm \(K\) của \(\left( \alpha \right)\) với đường thẳng trên.
- Khoảng cách bằng \(IK\).
Lời giải chi tiết
\(\begin{array}{l}
C\left({x; y; z} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AC} = \left({x - 2; y; z} \right)\\
\overrightarrow {AC} = \left({0,6,0} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 2 = 0\\
y = 6\\
z = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 6\\
z = 0
\end{array} \right. \Rightarrow C\left({2; 6; 0} \right)
\end{array}\)
I là trung điểm BC nên I(1; 3; 4)
\(\overrightarrow {OA} = \left( {2; 0; 0} \right)\)
\(OA\) đi qua O và nhận \(\dfrac{1}{2}\overrightarrow {OA} = \left( {1; 0; 0} \right)\) làm VTCP
\(\Rightarrow OA:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z = 0\end{array} \right.\)
Gọi \((\alpha)\) là mặt phẳng đi qua I và vuông góc với OA ta có:
\(\left( \alpha \right) \bot OA \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OA} = \left({1; 0; 0} \right)\)
Phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) là: \(x – 1 = 0 \)
Gọi K(t; 0; 0) là giao điểm của OA và \((\alpha)\). Tọa độ của K thỏa mãn t-1=0 hay t=1.
Do đó \(K(1; 0; 0)\)
Khoảng cách từ I đến OA là: \(IK = \sqrt {{{(1 - 1)}^2} + {{(0 - 3)}^2} + {{(0 - 4)}^2}} \) \(= 5\)
Cách khác:
Sau khi tìm được I(1; 3; 4) và phương trình đường thẳng OA, ta có thể tính khoảng cách ngay như sau:
\(d\left( {I, OA} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OI} ,\overrightarrow {OA} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {OA} } \right|}}\)
Mà \(\overrightarrow {OI} = \left( {1; 3; 4} \right),\overrightarrow {OA} = \left({2; 0; 0} \right)\) nên \(\left[ {\overrightarrow {OI} ,\overrightarrow {OA} } \right] = \left( {0; 8; - 6} \right)\)
\(\Rightarrow d\left( {I, OA} \right) = \dfrac{{\sqrt {0 + 64 + 36} }}{{\sqrt {4 + 0 + 0} }} = 5\).
- Tìm tọa độ trung điểm \(I\) của \(BC\).
- Viết phương trình mặt phẳng đi qua \(I\) và vuông góc với \(OA\).
- Tìm giao điểm \(K\) của \(\left( \alpha \right)\) với đường thẳng trên.
- Khoảng cách bằng \(IK\).
Lời giải chi tiết
\(\begin{array}{l}
C\left({x; y; z} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AC} = \left({x - 2; y; z} \right)\\
\overrightarrow {AC} = \left({0,6,0} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 2 = 0\\
y = 6\\
z = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 6\\
z = 0
\end{array} \right. \Rightarrow C\left({2; 6; 0} \right)
\end{array}\)
I là trung điểm BC nên I(1; 3; 4)
\(\overrightarrow {OA} = \left( {2; 0; 0} \right)\)
\(OA\) đi qua O và nhận \(\dfrac{1}{2}\overrightarrow {OA} = \left( {1; 0; 0} \right)\) làm VTCP
\(\Rightarrow OA:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z = 0\end{array} \right.\)
Gọi \((\alpha)\) là mặt phẳng đi qua I và vuông góc với OA ta có:
\(\left( \alpha \right) \bot OA \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OA} = \left({1; 0; 0} \right)\)
Phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) là: \(x – 1 = 0 \)
Gọi K(t; 0; 0) là giao điểm của OA và \((\alpha)\). Tọa độ của K thỏa mãn t-1=0 hay t=1.
Do đó \(K(1; 0; 0)\)
Khoảng cách từ I đến OA là: \(IK = \sqrt {{{(1 - 1)}^2} + {{(0 - 3)}^2} + {{(0 - 4)}^2}} \) \(= 5\)
Cách khác:
Sau khi tìm được I(1; 3; 4) và phương trình đường thẳng OA, ta có thể tính khoảng cách ngay như sau:
\(d\left( {I, OA} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OI} ,\overrightarrow {OA} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {OA} } \right|}}\)
Mà \(\overrightarrow {OI} = \left( {1; 3; 4} \right),\overrightarrow {OA} = \left({2; 0; 0} \right)\) nên \(\left[ {\overrightarrow {OI} ,\overrightarrow {OA} } \right] = \left( {0; 8; - 6} \right)\)
\(\Rightarrow d\left( {I, OA} \right) = \dfrac{{\sqrt {0 + 64 + 36} }}{{\sqrt {4 + 0 + 0} }} = 5\).