Google
Câu hỏi: Lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M0(x0, y0, z0) và song song với hai mặt phẳng cắt nhau:
(P) Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0
(P) Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0
Phương pháp giải
Đường thẳng \(d\) song song với hai mặt phẳng cắt nhau thì \(\overrightarrow {{u_d}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right]\)
Lời giải chi tiết
Do (P) và (Q) cắt nhau nên \(\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \).
Đường thẳng d đi qua M0 và có vecto chỉ phương \(\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] \) \(= \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}B\\{B'}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}C\\{C'}\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}C\\{C'}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}A\\{A'}\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}A\\{A'}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}B\\{B'}\end{array}}\end{array}} \right|} \right)\)
\(= \left( {BC' - B'C; CA' - C'A; AB' - A'B} \right)\)
Do đó phương trình tham số của d là:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x = {x_0} + \left({BC' - B'C} \right)t\\
y = {y_0} + \left({CA' - C'A} \right)t\\
z = {z_0} + \left({AB' - A'B} \right)t
\end{array} \right.\)
Đặc biệt phương trình trên cũng là phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0 với M0 là điểm chung của (P) và (Q).
Đường thẳng \(d\) song song với hai mặt phẳng cắt nhau thì \(\overrightarrow {{u_d}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right]\)
Lời giải chi tiết
Do (P) và (Q) cắt nhau nên \(\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \).
Đường thẳng d đi qua M0 và có vecto chỉ phương \(\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] \) \(= \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}B\\{B'}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}C\\{C'}\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}C\\{C'}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}A\\{A'}\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}A\\{A'}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}B\\{B'}\end{array}}\end{array}} \right|} \right)\)
\(= \left( {BC' - B'C; CA' - C'A; AB' - A'B} \right)\)
Do đó phương trình tham số của d là:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x = {x_0} + \left({BC' - B'C} \right)t\\
y = {y_0} + \left({CA' - C'A} \right)t\\
z = {z_0} + \left({AB' - A'B} \right)t
\end{array} \right.\)
Đặc biệt phương trình trên cũng là phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0 với M0 là điểm chung của (P) và (Q).