Google
Câu hỏi: Lập phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai mặt phẳng
(P1): 2x + y + 2z +1 = 0 và (P2): 2x + y + 2z +5 = 0.
(P1): 2x + y + 2z +1 = 0 và (P2): 2x + y + 2z +5 = 0.
Phương pháp giải
- Gọi điểm \(M\left( {x; y; z} \right)\) bất kì cách đều hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right),\left({{P_2}} \right)\).
- Sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng để tìm tập hợp các điểm \(M\) cần tìm.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(M(x, y, z) \in (P)\)\(\Leftrightarrow d(M,({P_1})) = d(M,({P_2}))\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2x + y + 2z + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \dfrac{{\left| {2x + y + 2z + 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }}\)
\(\Leftrightarrow \left| {2x + y + 2z + 1} \right| = \left| {2x + y + 2z + 5} \right|\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x + y + 2z + 1 = 2x + y + 2z + 5\\
2x + y + 2z + 1 = - \left({2x + y + 2z + 5} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
1 = 5\left({loai} \right)\\
4x + 2y + 4z + 6 = 0
\end{array} \right.
\end{array}\)
\(\Leftrightarrow 2x + y + 2z + 3 = 0\)
Từ đó suy ra phương trình của (P) là: \(2x + y + 2z + 3 = 0\).
- Gọi điểm \(M\left( {x; y; z} \right)\) bất kì cách đều hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right),\left({{P_2}} \right)\).
- Sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng để tìm tập hợp các điểm \(M\) cần tìm.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(M(x, y, z) \in (P)\)\(\Leftrightarrow d(M,({P_1})) = d(M,({P_2}))\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2x + y + 2z + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \dfrac{{\left| {2x + y + 2z + 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }}\)
\(\Leftrightarrow \left| {2x + y + 2z + 1} \right| = \left| {2x + y + 2z + 5} \right|\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x + y + 2z + 1 = 2x + y + 2z + 5\\
2x + y + 2z + 1 = - \left({2x + y + 2z + 5} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
1 = 5\left({loai} \right)\\
4x + 2y + 4z + 6 = 0
\end{array} \right.
\end{array}\)
\(\Leftrightarrow 2x + y + 2z + 3 = 0\)
Từ đó suy ra phương trình của (P) là: \(2x + y + 2z + 3 = 0\).