Google
Câu hỏi: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng:
\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2 - t}\\{y = 1 + 4t}\\{z = 1 - t}\end{array}} \right.\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 + t'}\\{y = - 3 + 4t'}\\{z = 2 - 3t'}\end{array}} \right.\)
\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2 - t}\\{y = 1 + 4t}\\{z = 1 - t}\end{array}} \right.\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 + t'}\\{y = - 3 + 4t'}\\{z = 2 - 3t'}\end{array}} \right.\)
Phương pháp giải
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) thì \(\overrightarrow {{n_P}} \) cùng phương với \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]\).
Lời giải chi tiết
Đường thẳng d đi qua M(-2; 1; 1) có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 1; 4; - 1} \right)\)
Đường thẳng d’ đi qua N(-1; -3; 2) có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {u'} = \left( {1; 4; - 3} \right)\)
Suy ra: \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( { - 8; - 4; - 8} \right) \ne \overrightarrow 0 \)
Ta có: \(\overrightarrow {MN} (1; - 4; 1)\) nên \(\overrightarrow {MN} .\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = 0\) do đó hai đường thẳng d và d’ cắt nhau.
Khi đó (P) là mặt phẳng đi qua M(-2; 1; 1) và có \(\overrightarrow {{n_P}} = (2; 1; 2)\)
Phương trình của (P) là : 2(x +2) + (y – 1) +2(z – 1) = 0 hay 2x + y + 2z + 1 = 0.
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) thì \(\overrightarrow {{n_P}} \) cùng phương với \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]\).
Lời giải chi tiết
Đường thẳng d đi qua M(-2; 1; 1) có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 1; 4; - 1} \right)\)
Đường thẳng d’ đi qua N(-1; -3; 2) có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {u'} = \left( {1; 4; - 3} \right)\)
Suy ra: \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( { - 8; - 4; - 8} \right) \ne \overrightarrow 0 \)
Ta có: \(\overrightarrow {MN} (1; - 4; 1)\) nên \(\overrightarrow {MN} .\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = 0\) do đó hai đường thẳng d và d’ cắt nhau.
Khi đó (P) là mặt phẳng đi qua M(-2; 1; 1) và có \(\overrightarrow {{n_P}} = (2; 1; 2)\)
Phương trình của (P) là : 2(x +2) + (y – 1) +2(z – 1) = 0 hay 2x + y + 2z + 1 = 0.