Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-4; -2; 4) và đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 3 + 2t}\\{y = 1 - t}\\{z = - 1 + 4t}\end{array}} \right.\)
Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua A, cắt và vuông góc với đường thẳng d.
Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua A, cắt và vuông góc với đường thẳng d.
Phương pháp giải
- Tham số hóa tọa độ giao điểm của \(d\) và \(\Delta \).
- Sử dụng điều kiện vuông góc của \(\Delta \) và \(d\) tìm tọa độ giao điểm ở trên.
- Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm và kết luận.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\overrightarrow {{a_d}} = (2; - 1; 4)\)
Xét điểm \(B(–3 + 2t; 1 – t ; –1 + 4t) \) thì \(\overrightarrow {AB} = (1 + 2t; 3 - t; - 5 + 4t)\)
\(AB \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{a_d}} = 0\)\(\Leftrightarrow 2(1 + 2t) - (3 - t) + 4(- 5 + 4t) = 0\) \(\Leftrightarrow t = 1\)
Suy ra \(\overrightarrow {AB} = (3; 2; - 1)\)
Vậy phương trình của \(\Delta \) là: \(\dfrac{{x + 4}}{3} = \dfrac{{y + 2}}{2} = \dfrac{{z - 4}}{{ - 1}}\)
- Tham số hóa tọa độ giao điểm của \(d\) và \(\Delta \).
- Sử dụng điều kiện vuông góc của \(\Delta \) và \(d\) tìm tọa độ giao điểm ở trên.
- Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm và kết luận.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\overrightarrow {{a_d}} = (2; - 1; 4)\)
Xét điểm \(B(–3 + 2t; 1 – t ; –1 + 4t) \) thì \(\overrightarrow {AB} = (1 + 2t; 3 - t; - 5 + 4t)\)
\(AB \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{a_d}} = 0\)\(\Leftrightarrow 2(1 + 2t) - (3 - t) + 4(- 5 + 4t) = 0\) \(\Leftrightarrow t = 1\)
Suy ra \(\overrightarrow {AB} = (3; 2; - 1)\)
Vậy phương trình của \(\Delta \) là: \(\dfrac{{x + 4}}{3} = \dfrac{{y + 2}}{2} = \dfrac{{z - 4}}{{ - 1}}\)