Google
Câu hỏi: Trong không gian $O x y z$, cho hai đường thẳng $d_1: \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{x-2}{2}, d_2: \dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z}{2}$. Đường thẳng $d$ thay đổi đi qua $I(1 ; 1 ; 2)$ và tạo với hai đường thằng $d_1, d_2$ các góc bằng nhau. Tính khoảng cách nhỏ nhất từ $A(4 ; 0 ; 0)$ đến đường thẳng $d$.
A. $\dfrac{\sqrt{26}}{13}$.
B. $\sqrt{2}$.
C. $\dfrac{\sqrt{34}}{17}$.
D. $2 \sqrt{2}$.
A. $\dfrac{\sqrt{26}}{13}$.
B. $\sqrt{2}$.
C. $\dfrac{\sqrt{34}}{17}$.
D. $2 \sqrt{2}$.
Đường thẳng $d_1$ có một véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}(1 ; 2 ; 2)$. Đường thăng $d_2$ có một véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}(2 ; 1 ; 2)$. Nhận xét $d_1 \cap d_2=I$. Vì $\left|\vec{u}_1\right|=\left|\overrightarrow{u_2}\right|=3$ nên gọi $\vec{v}$ là véc tơ chỉ phương của đường phân giác của góc nhọn tạo bởi $d_1$ và $d_2$ thì ta có $\vec{v}=\overrightarrow{u_1}+\overrightarrow{u_2}=(3 ; 3 ; 4)$
Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa $d_1$ và $d_2$. Khi đó một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\overrightarrow{n_P}=$ $\left[\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}\right]=(2 ; 2 ;-3)$
+) Xét mặt phẳng $(Q)$ đi qua $I,(Q) \perp(P),(Q)$ chứa phân giác góc nhọn tạo bởi $d_1$ và $d_2$ thì có một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$ là $\overrightarrow{n_Q}=\left[\overrightarrow{n_P}, \vec{v}\right]=(17 ;-17 ; 0)$, suy ra phương trình $(Q): x-y=0$. Đường thẳng $d \subset(Q)$, nên $d(A, d) \geq d(A,(Q))=2 \sqrt{2}$.
+) Xét mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $I,(\alpha) \perp(P),(\alpha)$ chứa phân giác góc tù tạo bởi $d_1$ và $d_2$ thì có một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ là $\overrightarrow{n_\alpha}=\left[\overrightarrow{n_P}, \overrightarrow{n_Q}\right]=(3 ; 3 ; 4)$, suy ra phương trình $(\alpha): 3 x+$ $3 y+4 z-14=0$. Đường thẳng $d \subset(\alpha)$, nên $d(A, d) \geq d\left(A_i(\alpha)\right)=\dfrac{\sqrt{34}}{17}$.
+) Vậy Mind $(A, d)=\dfrac{\sqrt{34}}{17}$.
Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa $d_1$ và $d_2$. Khi đó một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\overrightarrow{n_P}=$ $\left[\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}\right]=(2 ; 2 ;-3)$
+) Xét mặt phẳng $(Q)$ đi qua $I,(Q) \perp(P),(Q)$ chứa phân giác góc nhọn tạo bởi $d_1$ và $d_2$ thì có một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$ là $\overrightarrow{n_Q}=\left[\overrightarrow{n_P}, \vec{v}\right]=(17 ;-17 ; 0)$, suy ra phương trình $(Q): x-y=0$. Đường thẳng $d \subset(Q)$, nên $d(A, d) \geq d(A,(Q))=2 \sqrt{2}$.
+) Xét mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $I,(\alpha) \perp(P),(\alpha)$ chứa phân giác góc tù tạo bởi $d_1$ và $d_2$ thì có một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ là $\overrightarrow{n_\alpha}=\left[\overrightarrow{n_P}, \overrightarrow{n_Q}\right]=(3 ; 3 ; 4)$, suy ra phương trình $(\alpha): 3 x+$ $3 y+4 z-14=0$. Đường thẳng $d \subset(\alpha)$, nên $d(A, d) \geq d\left(A_i(\alpha)\right)=\dfrac{\sqrt{34}}{17}$.
+) Vậy Mind $(A, d)=\dfrac{\sqrt{34}}{17}$.
Đáp án C.