Google
Câu hỏi: Trong không gian $O x y z$, cho hai đường thẳng $d_1: \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z-1}{2}$ và $d_2: \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+2}{1}$. Mặt phẳng $(P): x+a y+b z+c=0(c>0)$ song song với $d_1, d_2$ và khoảng cách từ $d_1$ đến $(P)$ bằng 2 lần khoảng cách từ $d_2$ đến $(P)$. Giá trị của $a+b+c$ bằng:
A. -6 .
B. 6 .
C. 14 .
D. -4 .
A. -6 .
B. 6 .
C. 14 .
D. -4 .
Đường thẳng $d_1$ đi qua điểm $M(1 ;-2 ; 1)$ và có một véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(1 ; 1 ; 2)$.
Đường thẳng $d_2$ đi qua điểm $N(1 ; 1 ;-2)$ và có một véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(2 ; 1 ; 1)$.
Mặt phẳng $(P)$ có một véctơ pháp tuyến $\vec{n}=(1 ; a ; b)$.
Do mp $(P)$ song song với $d_1, d_2$ nên ta có: $\left\{\begin{array}{l}\vec{n} \cdot \overrightarrow{u_1}=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{u_2}=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}1+a+2 b=0 \\ 2+a+b=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=-3 \\ b=1\end{array}\right.\right.\right.$.
Khi đó $(P): x-3 y+z+c=0$.
Ta có: $d\left(d_1,(P)\right)=2 d\left(d_2,(P)\right) \Leftrightarrow d(M,(P))=2 d(N,(P)) \Leftrightarrow \dfrac{|c+8|}{\sqrt{11}}=2 \cdot \dfrac{|c-4|}{\sqrt{11}} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}c=16 \\ c=0\end{array}\right.$. Mà $c>0$ nên $c=16$.
Vậy $a+b+c=14$.
Đường thẳng $d_2$ đi qua điểm $N(1 ; 1 ;-2)$ và có một véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(2 ; 1 ; 1)$.
Mặt phẳng $(P)$ có một véctơ pháp tuyến $\vec{n}=(1 ; a ; b)$.
Do mp $(P)$ song song với $d_1, d_2$ nên ta có: $\left\{\begin{array}{l}\vec{n} \cdot \overrightarrow{u_1}=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{u_2}=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}1+a+2 b=0 \\ 2+a+b=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=-3 \\ b=1\end{array}\right.\right.\right.$.
Khi đó $(P): x-3 y+z+c=0$.
Ta có: $d\left(d_1,(P)\right)=2 d\left(d_2,(P)\right) \Leftrightarrow d(M,(P))=2 d(N,(P)) \Leftrightarrow \dfrac{|c+8|}{\sqrt{11}}=2 \cdot \dfrac{|c-4|}{\sqrt{11}} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}c=16 \\ c=0\end{array}\right.$. Mà $c>0$ nên $c=16$.
Vậy $a+b+c=14$.
Đáp án C.