Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có các cạnh cùng bằng a. Bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp đó là
A. ${{a\sqrt 2 } \over {2(1 + \sqrt 3)}}$
B. ${{a\sqrt 2 } \over {4(1 + \sqrt 3)}}$
C. ${{a\sqrt 3 } \over {2(1 + \sqrt 3)}}$
D. ${{a\sqrt 3 } \over {4(1 + \sqrt 3)}}$
Gọi I và \(r\) là tâm, bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp, ta có:
\(\begin{array}{l}{V_{S. ABCD}}\\ = {V_{I. SAB}} + {V_{I. SBC}} + {V_{I. SCD}}\\ + {V_{I. SDA}} + {V_{I. ABCD}}\\ = \frac{1}{3}r.{S_{SAB}} + \frac{1}{3}r.{S_{SBC}} + \frac{1}{3}r.{S_{SCD}}\\ + \frac{1}{3}r.{S_{SDA}} + \frac{1}{3}r.{S_{ABCD}}\\ = \frac{1}{3}r{S_{tp}}\\ \Rightarrow r = \frac{{3{V_{S. ABCD}}}}{{{S_{tp}}}}\end{array}\)
Gọi O là tâm hình vuông ABCD ta có:
\(\begin{array}{l}SO = \sqrt {S{D^2} - D{O^2}} \\ = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\end{array}\)
Thể tích khối chóp \(S. ABCD\) là:
\({V_{S. ABCD}} = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}}\) \(= \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\)
\(\begin{array}{l}{S_{tp}} = 4{S_{ABC}} + {S_{ABCD}}\\ = 4.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} + {a^2}\\ = {a^2}\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\end{array}\)
Vậy \(r = \frac{{3{V_{S. ABCD}}}}{{{S_{tp}}}}\) \(= \frac{{3.\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}}}{{{a^2}\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2\left({1 + \sqrt 3 } \right)}}\)
A. ${{a\sqrt 2 } \over {2(1 + \sqrt 3)}}$
B. ${{a\sqrt 2 } \over {4(1 + \sqrt 3)}}$
C. ${{a\sqrt 3 } \over {2(1 + \sqrt 3)}}$
D. ${{a\sqrt 3 } \over {4(1 + \sqrt 3)}}$
Gọi I và \(r\) là tâm, bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp, ta có:
\(\begin{array}{l}{V_{S. ABCD}}\\ = {V_{I. SAB}} + {V_{I. SBC}} + {V_{I. SCD}}\\ + {V_{I. SDA}} + {V_{I. ABCD}}\\ = \frac{1}{3}r.{S_{SAB}} + \frac{1}{3}r.{S_{SBC}} + \frac{1}{3}r.{S_{SCD}}\\ + \frac{1}{3}r.{S_{SDA}} + \frac{1}{3}r.{S_{ABCD}}\\ = \frac{1}{3}r{S_{tp}}\\ \Rightarrow r = \frac{{3{V_{S. ABCD}}}}{{{S_{tp}}}}\end{array}\)
Gọi O là tâm hình vuông ABCD ta có:
\(\begin{array}{l}SO = \sqrt {S{D^2} - D{O^2}} \\ = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\end{array}\)
Thể tích khối chóp \(S. ABCD\) là:
\({V_{S. ABCD}} = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}}\) \(= \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\)
\(\begin{array}{l}{S_{tp}} = 4{S_{ABC}} + {S_{ABCD}}\\ = 4.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} + {a^2}\\ = {a^2}\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\end{array}\)
Vậy \(r = \frac{{3{V_{S. ABCD}}}}{{{S_{tp}}}}\) \(= \frac{{3.\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}}}{{{a^2}\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2\left({1 + \sqrt 3 } \right)}}\)
Đáp án A.